SSC উচ্চতর গণিত (Srijonshil) সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর অধ্যায়-১ pdf download

৯ম-১০ম শ্রেণির গাইড এবং এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি

উচ্চতর গণিত

অধ্যায়-০১

সেট ও ফাংশন

Class 9-10 Guide and Complete SSC Exam Preparation pdf download

SSC Higher Mathematics

Chapter-01

Sets and functions

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

◈ সেট (Set) : বাস্তব জগত বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট বলা হয়। সেটকে সাধারণত ইংরেজি বড় অক্ষ A, B, C, D, X, Y ইত্যাদি এবং সেটের সদস্যকে ছোট অক্ষ a, b, c, d, x, y ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

◈ সার্বিক সেট (Universal set) : নির্দিষ্ট সেটের আলোচনাধীন সকল সেটের সেটকে সার্বিক সেট বলা হয়। সার্বিক সেটকে U বা S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

◈ উপসেট (Subset) : A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} এবং C = {1, 2, 3, 4} সেট তিনটি বিবেচনা করলে দেখা যায় B সেটের প্রতিটি উপাদান A সেটে বিদ্যমান সুতরাং B সেটকে A সেটের উপসেট বলা হয় এবং লেখা হয় B ⊆ A.

◈ প্রকৃত উপসেট (Proper Subset) : A সেটের প্রত্যেক উপাদান যদি B সেটে বিদ্যমান থাকে এবং B সেটে অন্তত একটি উপাদান থাকে যা A সেটে নেই, তবে A কে B এর প্রকৃত উপসেট বলে।

◈ ফাঁকা সেট (Empty set) : যে সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য বা কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। এই সেটকে { } বা Ø দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

◈ সেটের সমতা (Equality of sets) : দুইটি সেটের উপাদান একই হলে সেট দুইটিকে সমান বলা হয় এবং = চি‎হ্ন দিয়ে সমতা বোঝানো হয়।

◈ সেটের অন্তর (Difference of sets) : A\ B কে A বাদ B সেট বলা হয়। B এর সকল উপাদান বর্জন করে A এর অন্য উপাদান নিয়ে A\ B গঠন করা হয়।

◈ পূরক সেট (Complementary set) : যদি A সেট সার্বিক সেট U এর একটি উপসেট হয় তবে A এর উপাদানগুলো বাদে সার্বিক সেটের অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এর পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে A' বা Ac দ্বারা সূচিত করা হয়।

◈ শক্তি সেট (Power set) : A সেটের সকল উপসেটের সেটকে A এর শক্তি সেট বলা হয় এবং P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

◈ ভেনচিত্র (Venn Diagram) : কোনো সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে যে জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করা হয় তাকে ভেনচিত্র বলে। বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন : আয়তকার ক্ষেত্র, বৃত্তাকার ক্ষেত্র ইত্যাদি ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়।

◈ সেটের সংযোগ (Union of sets) : দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলে। A ও B এর সংযোগ সেট A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

◈ সেটের ছেদ (Intersection of sets) : দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B.

◈ নিশ্ছেদ সেট (Disjoint set) : দুইটি সেটের কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে, তাদেরকে নিশ্ছেদ সেট বলে।

◈ এক-এক মিল (One–One Correspondence) : যদি A সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদান এবং B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে A সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা হয়, তবে তাকে A ও B সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল বলা হয়।

◈ সমতুল সেট (Equivelent set) : যেকোনো সেট A ও B এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল A ↔ B বর্ণনা করা যায়, তবে A ও B-কে সমতুল সেট বলা হয়। A ও B সেট সমতুল বোঝাতে অনেক সময় A 〜 B প্রতীক লেখা হয়।

◈ সেটের সূত্র :

(i) A ও B শান্ত সেট হলে n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n(A ∩ B)

(ii) A, B ও C নিশ্ছেদ সেট হলে

☑ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) [ ∵ A ∩ B = 0]

☑ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)

(iii) A, B ও C যেকোনো সেটের জন্য :

(iv) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

(v) n(A) = n(ট) - n(A)

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

1. i. কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে, এর উপসেটের সংখ্যা হবে 4n

ii. সকল মূলদ সংখ্যার সেট Q = p/q : p, q ∪ Z

iii. a,b ∈ R;] a,b [={x : x ∈ R এবং a < x < b}]

উপরের উক্তির আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

[ক] i ও ii

[খ] ii ও iii

☑ i ও iii

[ঘ] i, ii ও iii

[ বি. দ্র. p, q ∪ Z এর স্থানে p, q ∈ Z হলে উত্তর : i, ii ও iii সঠিক]

নিচের তথ্যের আলোকে (2 - 4) নং প্রশ্নের উত্তর দাও :

প্রত্যেক n ∈ N এর জন্য An = {n, 2n, 3n.........}

2. A¹ ∩ A² এর মান নিচের কোনটি?

[ক] A¹

☑ A²

[গ] A³

[ঘ] A⁴

ব্যাখ্যা : n ∈ N দ্বারা বুঝায় n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার উপাদান

হ ∈ N এর জন্য An = {n, 2n, 3n ........}

A¹ = {1, 2, 3, 4 ...........}

A² = {2, 4, 6 .............}

∴ A¹ ∩ A² = {2, 4, 4 ..........} = A²

3. নিচের কোনটি A³ ∩ A⁶ এর মান নির্দেশ করে?

[ক] A²

[খ] A³

[গ] A⁴

☑ A⁶

4. A² ∩ A³ এর পরিবর্তে নিচের কোনটি লেখা যায়?

[ক] A³

[খ] A⁴

[গ] A⁵

☑ A⁶

প্রশ্ন : 5 : দেওয়া আছে U = { x : 3 ≤ x ≤ 20 , n ∈ Z}, A = { x : x বিজোড় সংখ্যা} এবং B = { x : x মৌলিক সংখ্যা}

নিম্নের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লিপিবদ্ধ কর :

(i) A

(ii) B

(iii) C = {x : x ∈ A এবং x ∈ B } এবং

(iv) D = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B }

সমাধান :

দেওয়া আছে, U = { x : 3 ≤ x ≤ 20, x ∈ Z}

∴ U = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

A = { x : x বিজোড় সংখ্যা }

B = { x : x বিজোড় সংখ্যা }

(i) A = { x : x বিজোড় সংখ্যা }

∴ A = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

(ii) B = { x : x বিজোড় সংখ্যা}

∴ B = { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

(iii) দেওয়া আছে, C = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}

A ∩ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}∩ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

= {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

[নোট : C হলো 3 থেকে 20 পর্যন্ত সকল মৌলিক বিজোড় সংখ্যার সেট এবং C = B।]

(iv) D = { x : x ∈ A অথবা x ∈ B}

A ∪ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} ∪ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

= {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

প্রশ্ন : 6 : ভেনচিত্রে A এবং B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। যদি n(A) = n (B) হয়, তবে নির্ণয় কর

(a) x এর মান (b) n(A ∪ B) এবং n(A ∩ B').

সমাধান :

প্রদত্ত ভেনচিত্রে n(A) = 3x + x

n(B) = x + 2x + 8

n(A ∪ B) = 3x + x + 2x + 8

n(A ∩ B') = 3x

(a) দেওয়া আছে, n(A) = n(B)

বা, 3x + x = x + 2x + 8

বা, 4x = 3x + 8

∴ x = 8 (Ans.)

(b) আমরা জানি, n(A∪ B) = n(A) + n (B) - n(A ∩ B)

= 3x + x + x + 2x + 8 - x

= 6x + 8 = 6 × 8 + 8 [ ∵ x = 8]

= 56 (Ans.)

এবং n(A ∩ B') = n(A) - n(A ∩ B) [ভেনচিত্র থেকে]

= 3x + x - x = 3x = 3 × 8 [ ∵ x = 8]

= 24 (Ans.)

[নোট : ভেনচিত্রে 3x, x, 2x + 8 দ্বারা A ও B সেটের উপাদান নয় বরং উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়েছে।]

প্রশ্ন : 7 : যদি U = {x : x জোড় পূর্ণ সংখ্যা}, A = { x : x ≥ 5} ⊂ U এবং B = { x : x < 12} ⊂ U তবে n(A ∩ B) এবং n (A') এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, U = { x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}

∴ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..........}

A = { x : x ≥ 5}

∴ A = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11......}

এবং B = { x : x < 12}

∴ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

এখন, A ∩ B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, .... }∩{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

= { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

∴ n(A ∩ B) = 7 (Ans.)

এবং A' = U - A

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...... } - { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ....}

= { 1, 2, 3, 4}

∴ n(A') = 4 (Ans.)

প্রশ্ন : 8 : যদি U = { x : x জোড় পূর্ণসংখ্যা }, A = { x : 3x ≥ 25} ⊂ U এবং B = { x : 5x < 12} ⊂ U হয়, তাহলে n(A ∩ B) এবং n(A' ∩ B') এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, U = { x : x জোড় পূর্ণ সংখ্যা}

∴ U = { .........., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8, ...... }

A = { x : 3x ≥ 25}

∴ A = { 10, 12, 14, 16, 18, ..........}

এবং B = { x : 5x < 12}

∴ B = {........, - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2}

∴ A ∩ B = { 10, 12, 14, 16, 18, ..... } ∩ { ...., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2}

= { }

∴ n(A ∩ B) = 0 (Ans.)

আবার, A' = U - A

= { ......, - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, ......}

- { 10, 12, 14, 16, 18, ......}

= { ........, - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8}

এবং B' = U - B

= { ....., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, ......}

- { .........., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2}

= {4, 6, 8, ........}

∴ A' ∩ B' = { ........., - 8, -6, - 4,

- 2, 0, 2, 4, 6, 8} ∩ { 4, 6, 8.......}

= { 4, 6, 8}

∴ n(A' ∩ B') = 3 (Ans.)

প্রশ্ন : 9 : দেখাও যে, (ক) A\ A = Φ (খ) A\(A\ A) = A

সমাধান :

(ক) মনে করি, x ∈ A \ A

তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ A

বা, x ∈ Φ

∴ A \ A ⊂ Φ

আবার, মনে করি, x ∈ Φ

তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ A

বা, x ∈ A\A

∴ Φ ⊂ A\ A

সুতরাং A \ A = Φ (দেখানো হলো)

(খ) মনে করি, x ∈ A\(A\A)

তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ (A\ A)

বা, x ∈ A এবং x ∉ Φ [ ∵ A \ A = Φ]

বা, x ∈ A

∴ A\ (A\ A) ⊂ A

আবার, মনে করি, x ∈ A

তাহলে, x ∈ A এবং x ∉ Φ

বা, x ∈ A এবং x ∉ (A\A)

বা, x ∈ A\ (A\ A)

∴ A ⊂ A\ (A\ A)

সুতরাং A\ (A\A) = A (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 10 : দেখাও যে, A × ( B ∪ C ) = (A × B) ∪ ( A × C )

সমাধান : কার্তেসীয় গুণজ সেটের সংজ্ঞানুসারে,

A × (B ∪ C) = { (x, y) : x ∈ A, y ∈ (B ∪ C) }

= {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা y ∈ C}

= {(x, y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}

= { (x, y) : (x, y) ∈ (A × B) অথবা (x, y) ∈ (A × C)}

= {(x, y) : (x, y) ∈ (A ×B) ∪ (A × C)}

= (A × B) ∪ (A × C)

∴ A × (B ∪ C) ⊂ (A × B) ∪ (A × C)

আবার, (A × B) ∪ (A × C) = { (x, y) : (x, y) ∈ (A × B)

অথবা, (x, y) ∈ (A × C)}

= { (x, y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}

= { (x, y) : x ∈ A, y ∈ (B ∪ C)}

= {(x, y) : (x, y) ∈ A × ( B ∪ C)}

∴ (A × B) ∪ (A × C) ⊂ A × (B ∪ C)

∴ A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 11 : যদি A ⊂ B এবং C ⊂ D হয়, তবে দেখাও যে,

(A × C) ⊂ (B × D)

সমাধান : মনে করি, (x, y) ∈ A × C

তাহলে x ∈ A এবং y ∈ C

বা, x ∈ B এবং y ∈ উ [∵ A ⊂ B এবং C ⊂ D]

বা, (x, y) ∈ B × D

∴ (A × C) ⊂ (B × D) (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 12 : দেখাও যে, A = { 1, 2, 3, ........, n} এবং

B = { 1, 2, 22, ............., 2n-1} সেট দুইটি সমতুল।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = { 1, 2, 3,........., n}

এবং B = {1, 2, 22, ...... , 2n -1}

A ও B এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিচের চিত্রে দেখানো হলো :

A: 1, 2, 3, .......... n

B : 1, 2, 22, .......... 2n - 1

আমরা জানি, যেকোনো দুইটি সেটের মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল বর্ণনা করা যায়, তবে ঐ সেট দুটি সমতুল।

সুতরাং A ও B সেট দুইটি সমতুল। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 13 : দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট S = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..........} একটি অনন্ত সেট।

সমাধান : দেওয়া আছে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট, S = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...........}

= {12, 22, 32, 42, 52, 62 ..............n² ...............}

এখন স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, ........n.........}

N ও S এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিচে দেখানো হলো :

N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ......হ .......

S : 1, 4, 9, 16, 25, 36, ......হ2........

সুতরাং N ও S সমতুল। যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N একটি অনন্ত সেট।

সুতরাং আমরা বলতে পারি, S একটি অনন্ত সেট। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 14 : প্রমাণ কর যে, n(A) = P, n(B) = q এবং (A ∩ B) = Φ হলে, n(A∪ B) = p + q।

সমাধান : আমরা জানি, n(A∪ B) = n(A) + n (B) - n(A ∩ B)

= p + q - n (Φ) [মান বসিয়ে]

= p + q - 0

= p + q (প্রমাণিত)

প্রশ্ন : 15 : প্রমাণ কর যে, A, B, C সান্ত সেট হলে,

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n (B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n (C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)।

সমাধান : বামপক্ষ = n(A ∪ B ∪C)

= n{ (A ∪ B) ∪ C}

= {n(A∪ B) + n (C) - n{ (A ∪ B) ∩ C}

[ ∵ n(A ∪ B) = n(A) + n (B) - n(A ∩ B)]

= n(A) + n (B) - n(A ∩B) + n (C)

- n{(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)}

= n(A) + n(B) + n (C) -n(A ∩B) - {n(A ∩ C)

+ n (B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C)}

= n(A) + n (B) + n (C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C)

- n (B ∩ C) + n(A ∩ B∩ C)

= n(A) + n (B) + n(C) - n(A ∩ B) - n (B ∩ C)

- n (C∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)