এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ২.১
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-2.1
সেট ও ফাংশন
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ সেট : বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর 33, ........... X,Y,Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদস্যকে সেটের উপাদান (element) বলা হয়। যেমন : B = {a,b} হলে, B সেটের উপাদান a এবং b.
◈ সেট প্রকাশের পদ্ধতি : সেটকে প্রধানত দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা : (1) তালিকা পদ্ধতি এবং (2) সেট গঠন পদ্ধতি
(1) তালিকা পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা’ ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে আলাদা করা হয়। যেমন : A = {a,b}, B = {2,4,6}, C = { নিলয়, তিশা, শুভ্রা } ইত্যাদি।
(2) সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে। যেমন : A = {x : x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা}, B = {x : x নবম শ্রেণির প্রথম পাঁচজন শিক্ষার্থী } ইত্যাদি।
⬔ বিভিন্ন প্রকার সেট :
◈ সসীম সেট : যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, তাকে সসীম সেট বলে।
◈ অসীম সেট : যে সেটের উপাদান সংখ্যা ণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে।
◈ ফাঁকা সেট : যে সেটের কোনো উপাান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে Ø দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ ভেনচিত্র : জন ভেন (1834-183) চিত্রের সাহায্যে সেট প্রকাশ করার রীতি প্রবর্তন করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতি চিত্র যেমন আয়তাকার ক্ষেত্র, বৃত্তাকার ক্ষেত্র এবং ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেন চিত্র নামে পরিচিত।
◈ উপসেট : কোনো সেট থেকে তগুলো সেট গঠন করা যায়, তাদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয়।
◈ প্রকৃত উপসেট : B যদি A র উপসেট হয় এবং A এর অন্তত একটি উপাদান B সেটে না থাকে তাহলে B কে A এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় এবং B ⊆ A লেখা হয়। যেমন : A = {3,4,5,6} এবং B = {3,5} দুইটি সেট।
◈ সেটের সমতা : দুইটি সেটে উপাদান একই হলে, সেট দুইটিকে সমান বলা হয়। যেমন : A = {3,5,7} এবং B = {5,3,7) দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয়।
◈ সেটের অন্তর : কোনোসেট থেকে অন্য একটি সেট বাদ দিলে যে সেট গঠিত হয় তাকে বাদ সেট বা সেটের অন্তর বলে।
◈ সার্বিক সেট : বাস্তবআলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট। যেমন : A = {x,y} সেটটি B = {x,y,z} এর একটি উপসেট। এখানে, সেটকে A সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে।
◈ পূরক সেট : U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট। A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে Ac বা A'দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে Ac = U : A.
◈ সংযোগ সেট : দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়।
◈ ছেদ সেট : দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∩ B = {x : x ∈ A এবং x ∈ B.}
◈ নিচ্ছেদ সেট : দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটি পরস্পর নিচ্ছেদ সেট।
◈ শক্তি সেট : A সেটের শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
◈ ক্রমজোড় : একজোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড়া আকারে প্রকাশকে ক্রমজোড় বলা হয়।
◈ কার্তেসীয় গুণজ : A ও B যেকোনো সেটের উপাদানগুলোর সকল ক্রমজোড়ের সেটকে তাদের কার্তেসীয় গুণজ সেট বলে।
প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর :
(ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³ < 130}
সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .........}
এখানে, x = 1 হলে, x² = 12 = 1 ≯ 9 এবং x³ = 13 = 1 < 130
x = 2 হলে, x² = 22 = 4 ≯ 9 এবং x³ = 23 = 8 < 130
x = 3 হলে, x² = 32 = 9 ≯ 9 এবং x³ = 33 = 27 < 130
x = 4 হলে, x² = 42 = 16 > 9 এবং x³ = 43 = 64 < 130
x = 5 হলে, x² = 52 = 25 > 9 এবং x³ = 53 = 125 < 130
x = 6 হলে, x² = 62 = 36 > 9 এবং x³= 63 = 216 ≰ 130
..................................
∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো 4, 5
নির্ণেয় সেট = {4, 5}
(খ) {x ∈ Z : x² > 5 এবং x² ≤ 36}
সমাধান : যে সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং 36 অপেক্ষা বড় নয় তাদের সেট।
আমরা জানি, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = {.... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ........}
এখানে,
x = 0 হলে, x² = 0² = 0 ≯ 5 এবং 0 < 36
x = ±1 হলে, x² = (±1)² = 1 ≯ 5 এবং 1 < 36
x = ±2 হলে, x² = (±2)² = 4 ≯ 5 এবং 4 < 36
x = ±3 হলে, x² = (±3)² = 9 > 5 এবং 9 < 36
x = ±4 হলে, x² = (±4)² = 16 > 5 এবং 16 < 36
x = ±5 হলে, x² = (±5)² = 25 > 5 এবং 25 < 36
x = ±6 হলে, x² = (±6)² = 36 > 5 এবং 36 = 36
x = ±7 হলে, x² = (±7)² = 49 > 5 এবং 49 ≰ 36
......................................
∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাসমূহ: ±3, ±4, ±5, ±6
নির্ণেয় সেট = {± 3, ±4, ±5, ±6}
(গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক }
সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক তাদের সেট।
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যা সেট N = (1, 2, 3, 4, 5, .....)
এখানে, 36 = 1 × 36
= 2 × 18
= 3 × 12
= 4 × 9
= 6 × 6
∴ 36 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
এবং 6 এর গুণিতকসমূহ 6, 12, 18, 24, 30, 36 ... ...
∴ 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতকগুলো হলো যথাক্রমে 6, 12, 18, 36.
নির্ণেয় সেট = {6, 12, 18, 36}
(ঘ) {x ∈ N : x³ > 25 এবং x⁴ < 264}
সমাধান : যেসকল স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 25 অপেক্ষা ছোট এবং চতুর্ঘাত 264 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।
আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, [ঘ] = (1, 2, 3, 4, 5, 6, ......}
এখানে,
x = 1 হলে,x³ = 13 = 1 ≯ 25এবং x⁴ = 14= 1 < 264
x = 2 হলে,x = 3 হলে,x³ = 33 = 27 > 25 এবং x⁴ = 34= 81 < 264
x = 4 হলে,x³ = 43 = 64 > 25এবং x⁴ = 44= 256 < 264
x = 5 হলে,x³ = 53 = 125 > 25 এবং x⁴ = 54= 625 ≰ 264
.................................
∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ 3, 4.
নির্ণেয় সেট = {3, 4}
প্রশ্নঃ 2 : নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর:
(ক) {3, 5, 7, 9, 11}
সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 3, 5, 7, 9, 11
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 1 থেকে বড় এবং 13 থেকে ছোট।
নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং 1 < x < 13}
(খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 36 এর গুণনীয়ক।
নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক}
(গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}
সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 4 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 4 এর গুণিতক এবং 40 এর বড় নয়।
নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 40}
(ঘ) {± 4, ± 5, ± 6}
সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ - 6, - 5, - 4, 4, 5, 6
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা। বর্গ 16 অপেক্ষা ছোট নয় এবং ঘন 216 অপেক্ষা বড় নয়।
নির্ণেয় সেট = {x ∈ Z : x² ≥ 16 এবং x³ ≤ 216}
প্রশ্নঃ 3 : A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর।
(ক) B\C
সমাধান : দেওয়া আছে, B = {1, 2, a}
এবং C = {2, a, b}
∴ B : C = {1, 2, a} : {2, a, b}
= {1} (Ans.)
(খ) A ∪ B
সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}
এবং B = {1, 2, a}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4} ∪ {1, 2, a}
= {1, 2, 3, 4, a} (Ans.)
(গ) A ∩ C
সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}
এবং C = {2, a, b}
∴ A ∩ C = {2, 3, 4} ∩ {2, a, b}
= {2} (Ans.)
(ঘ) A ∪ (B ∩ C)
সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}
এবং C = {2, a, b}
এখন, B ∩ C = {1, 2, a} ∩ {2, a, b} = (2, a)
∴ A ∪ (B ∩ C) = {2, 3, 4} ∪ {2, a}
= {2, 3, 4, a} (Ans.)
(ঙ) A ∩ (B ∪ C)
সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}
এবং C = {2, a, b}
এখন, B ∪ C = {1, 2, a} ∪ {2, a, b} = (1, 2, a, b)
∴ A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4} ∩ {1, 2, a, b} = {2} (Ans.)
প্রশ্নঃ 4 : U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই কর :
(i) (A ∪ B)' = A'∩ B'
সমাধান : দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A = {1, 3, 5} এবং B = {2, 4, 6}
এখন, A ∪ B = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ বামপক্ষ = (A ∪ B)' = U : {A ∪ B}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7}
আবার, A'= U\A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} : {1, 3, 5}
= {2, 4, 6, 7}
এবং B' = U\B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\{2, 4, 6}
= {1, 3, 5, 7}
∴ ডানপক্ষ = A'∩ B' = {2, 4, 6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7}
= {7}
অর্থাৎ (A ∪ B)' = A'∩ B' (সত্যতা যাচাই করা হলো)
(ii) (B ∩ C)' = B' ∪ C'
সমাধান : দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}
এখন, B ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {3, 4, 5, 6, 7} = {4, 6}
∴ বামপক্ষ = (B ∩ C)' = U\(B ∩ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\{4, 6}
= {1, 2, 3, 5, 7}
আবার, B'= U\B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\{2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}
এবং C' = U\C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} : {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2}
∴ ডানপক্ষ = B' ∪ C' = {1, 3, 5, 7} ∪ {1, 2} = {1, 2, 3, 5, 7}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ (B ∩ C)' = B' ∪ C' (সত্যতা যাচাই করা হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65% শিক্ষার্থী বাংলায়, 48% শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাস এবং 15% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
ক. সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।
খ. শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাস করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ. উভয় বিষয়ে পাস এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।
1নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান
(ক) ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন পরীক্ষার্থীর সেট U এবং পরস্পরচ্ছেদী দুইটি বৃত্তক্ষেত্র দ্বারা বাংলা ও ইংরেজিতে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও F নির্দেশ করা হলো।
(খ) এখানে, ছ = B ∩ E = উভয় বিষয়ে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা 48
∴ P = শুধু বাংলায় পাস পরীক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা
65 - 48 = 17 এবং R = শুধু ইংরেজিতে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট যার সদস্য সংখ্যা = 100 - (17 + 48 + 15) = 20
17%, 20%. (Ans.)
(গ) উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 48
এবং উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 15
ধরি, 48 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট A
এবং 15 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট B
48 এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো 2, 3
এবং 15 এর মৌলিক গুণনীয়ক হলো 3, 5
∴ A = {2, 3) এবং B = {3, 5}
∴ A ∪ B = {2, 3}∪{3, 5} = {2, 3, 5} (Ans.)
প্রশ্ন-2 : U = {x : x ∈ ℤ এবং x² < 10}
A = {x : x, 12 এর প্রকৃত গুণনীয়ক}
B = {x ∈ : x² - 3x + 2 = 0}
C = {0, 1, 2, 3}.
ক. U কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। 2
খ. (A ∪ B)' = A'∩ B' এর সত্যতা যাচাই কর। 4
গ. P(C) নির্ণয় করে দেখাও যে P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। 4
2নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান
ক. এখানে, U = {x : x ∈ ℤ এবং x² < 10}
এখানে, x সকল পূর্ণসংখ্যা সুতরাং
x = 0 হলে, x² = 0 যা শর্তে মানে
x = 1 হলে, x² = 1 যা শর্তে মানে
x = - 1 হলে, x² = 1 যা শর্তে মানে
x = 2 হলে, x² = 4 যা শর্তে মানে
x = - 2 হলে, x² = 4 যা শর্তে মানে
x = 3 হলে, x² = 9 যা শর্তে মানে
x = - 3 হলে, x² = 9 যা শর্তে মানে
x = 4 হলে, x² = 16 যা শর্তে মানে
x = - 4 হলে, x² = 16 যা শর্তে মানে
অতএব, U = {- 3, - 2, - 1, ,0, 1, 2, 3} (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, A = {x : x, 12 এর প্রকৃত গুণনীয়ক}
12 এর গুণনীয়কগুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 6, 12}
সুতরাং A = {x : x, 12 এর গুণনীয়ক} = {1, 2, 3}
আবার, B = {x ∈ : x² - 3x + 2 = 0}
এখন, x² - 3x + 2 = 0
বা, x² - 2x - x + 2 = 0
বা, x(x - 2) -1(x - 2) = 0
বা, (x - 2) (x - 1) = 0
হয়, x - 2 = 0 অথবা, x - 1 = 0
∴ x = 2 ∴ x = 1
যেহেতু x ∈
∴ B = {1, 2)
এখন, A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {1, 2} = {1, 2, 3}
A'= U - অ
= {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3} - {1, 2, 3}
= {- 3, - 2, - 1, 0}
B' = U - ই
= {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3} - {1, 2}
= {- 3, - 2, - 1, 0, 3}
বামপক্ষ = (A ∪ B)'
= U - (A ∪ B)
= {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3} - {1, 2, 3}
= {- 3, - 2, - 1, 0}
ডানপক্ষ = A'∩ B'
= {- 3, - 2, - 1, 0} ∩ {- 3, - 2, - 1, 0, 3}
= {- 3, - 2, - 1, 0}
∴ (A ∪ B)' = A'∩ B' (সত্যতা যাচাই করা হলো)
গ. C = {0, 1, 2, 3}
P(C) = {{0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1 , 3}, {0, 1, 2, 3}, Ø}
এখানে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 16টি
এখানে C সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
∴ P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 16 = 2⁴
∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-2.1
No comments:
Post a Comment