এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ২.২
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-2.2
সেট ও ফাংশন
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ অন্বয় (Relation) : যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ A × B সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট থেকে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়।
◈ ফাংশন (Function) : যদি দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে x এর ফাংশন বলা হয়।
◈ ডোমেন (Domain) ও রেঞ্জ (Range) : কোনো অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে এর রেঞ্জ বলা হয়। মনে করি, A সেট থেকে B সেটে R একটি অন্বয় অর্থাৎ R ⊆ A × B। R এ অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেট হবে R এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেট হবে R এর রেঞ্জ। R এর ডোমেনকে ডোম R এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ R লিখে প্রকাশ করা হয়।
◈ ফাংশনের লেখচিত্র (Graph) : ফাংশনের চিত্ররূপকে লেখচিত্র বলা হয়। ফাংশনের ধারণা সুস্পষ্ট করার ক্ষেত্রে লেখচিত্রের গুরুত্ব অপরিসীম। পরস্পর লম্বভাবে ছেদী সরলরেখা দুইটিকে অক্ষরেখা এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদ বিন্দুকে মূলবিন্দু বলে।
◈ উলম্ব অক্ষ (Perpendicular Axes) : কোনো সমতলে পরস্পর লম্বভাবে ছেদী দুইটি সরলরেখা XOX' এবং YOY' আঁকা হলো। অনুভূমিক রেখা XOX' কে x-অক্ষ, উলম্ব রেখা YOY' কে y-অক্ষ এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু O কে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।
◈ স্থানাঙ্ক (Co-ordinates) : দুইটি অক্ষের সমতলে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে অক্ষদ্বয়ের লম্ব দূরত্বের যথাযথ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাকে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলা হয়।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : 4 এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?
(ক) {8, 16, 24, ...........}
☑ {1, 2, 4, 8}
(গ) {2, 4, 8}
(ঘ) {1, 2}
প্রশ্নঃ 2 : সেট C হতে সেট B এ একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) R ⊂ C
(খ) R ⊂ B
☑ R ⊆ C × B
(ঘ) C × B ⊆ R
প্রশ্নঃ 3 : A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :
(i) A সেটের সঠিক প্রকাশ কোনটি?
(ক) {x ∈ N : 6 < x < 13}
(খ) {x ∈ঘ : 6 ≤ x < 13}
☑ { x ∈ N : 6 ≤ x ≤ 13}
(ঘ) { x ∈ N : 6 < x ≤ 13}
(ii) A সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলোর সেট কোনটি?
(ক) {6, 8, 10, 12
(খ) { 7, 9, 11, 13}
☑ {7, 11, 13}
(ঘ) A = {9, 12}
(iii) A সেটের 3 এর গুণিতকগুলোর সেট কোনটি?
(ক) {6, 9}
(খ) {6, 11}
(গ) {9, 12}
☑ {6, 9, 12}
(iv) A সেটের জোড় গুণনীয়কের বৃহত্তম সেট কোনটি?
(ক) {1, 13}
(খ) {1, 2, 3, 6}
(গ) 1, 3, 9}
☑ {1, 2, 3, 4, 6, 12}
প্রশ্নঃ 4 : যদি A = {3, 4}, B = {2, 4} হয়, তবে A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x > y সম্পর্ক বিবেচনা করে রিলেশনটি নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, A = {3, 4} এবং B = {2, 4}
মনে করি, রিলেশনটি R
প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x > y}
এখানে, A × B = {3, 4} × {2, 4} = {(3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4)}
∴ প্রদত্ত সম্পর্ক অনুসারে R = {(3, 2), (4, 2)}
প্রশ্নঃ 5 : যদি C = {2, 5}, D = {4, 6} এবং C ও D এর উপাদানগুলোর মধ্যে x + 1 < y সম্পর্কটি বিবেচনায় থাকে তবে রিলেশনটি নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, C = {2, 5} এবং D = {4, 6}
মনে করি, রিলেশনটি R
প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D এবং x + 1 < y}
এখানে, C × D = { 2, 5} × { 4, 6} = { (2, 4), (2, 6), (5, 4), (5, 6)}
∴ প্রদত্ত সম্পর্ক অনুসারে, R = {(2, 4), (2, 6)}
প্রশ্নঃ 6 : 𝑓(x) = x⁴ + 5x - 3 হলে, 𝑓(-1), 𝑓(2) এবং 𝑓(1/2) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান :
দেওয়া আছে, 𝑓(x) = x⁴ + 5x - 3
∴ 𝑓(-1) = ( -1)4 + 5 ( - 1) - 3 = 1 - 5 - 3 = 1 - 8 = - 7
𝑓(2) = (2)4 + 5 × (2) - 3 = 16 + 10 - 3 = 26 - 3 = 23
এবং 𝑓12 = 124 + 5 × 12 - 3
= 116 + 52 - 3 = 1 + 40 - 48 16 = 41 - 4816 = -716
নির্ণেয় মান : 𝑓(-1) = -7, 𝑓(2) = 23, 𝑓12 = -716
প্রশ্নঃ 7 : যদি 𝑓(y) = y³ + ky² - 4y - 8 হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য 𝑓(-2) = 0 হবে?
সমাধান : দেওয়া আছে, 𝑓(y) = y³ + ky² - 4y - 8
∴ 𝑓(-2) = (-2)3 + k(-2)² - 4(-2) - 8
= - 8 + 4k + 8 - 8 = 4k - 8
প্রশ্নানুসারে, 4k - 8 = 0
বা, 4k = 8
∴ k = 2
∴ k = 2 এর জন্য 𝑓(-2) = 0 হবে।
নির্ণেয় মান k = 2
প্রশ্নঃ 8 : 𝑓(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 হলে, x এর কোন মানের জন্য 𝑓(x) = 0 হবে?
সমাধান : দেওয়া আছে, 𝑓(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
∴ 𝑓(1) = 13 - 6.12 + 11.1 - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 12 - 12 = 0
∴ x - 1, 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x² (x - 1) -5x (x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 5x + 6)
= (x -1)(x2 -3x - 2x + 6)
= (x -1) {x (x -3) - 2 (x -3)}
= (x -1) (x - 2) (x - 3)
যেহেতু 𝑓(x) = 0
∴ (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0
হয় , x - 1 = 0 অথবা, x - 2 = 0 অথবা, x - 3 = 0
বা, x = 1 বা, x = 2 বা, x = 3
∴ x = 1 অথবা, 2 অথবা, 3 এর জন্য 𝑓(x) = 0 হবে।
নির্ণেয় মান x = 1 অথবা, 2 অথবা, 3
প্রশ্নঃ 9 : নিচের অন্বয়গুলো থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর :
(ক) R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}
সমাধান : দেওয়া আছে, R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}
R অন্বয়ে ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 2, 2, 2
এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 1, 2, 3
∴ ডোম R = {2} এবং রেঞ্জ R = {1, 2, 3}
(খ) S = {( -2, 4), ( -1, 1), (0, 0), (1,1), (2, 4)}
সমাধান : দেওয়া আছে, S = {( -2, 4), ( -1, 1), (0, 0), (1,1), (2, 4)}
ঝ অন্বয়ে ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ -2, -1, 0, 1, 2
এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 4, 1, 0, 1, 4
∴ ডোম S = { -2, - 1, 0, 1, 2} এবং রেঞ্জ = { 0, 1, 4}
প্রশ্নঃ 10 : নিচের অন্বয়গুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর :
(ক) R = {(x, y) : x ∈ A , y ∈ A এবং x + y = 1}, যেখানে A = {- 2, -1, 0, 1, 2}
সমাধান : দেওয়া আছে, R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং x + y = 1}, যেখানে A = {-2, -1, 0, 1, 2}
R এর বর্ণিত শর্ত থেকে পাই, x + y = 1
বা, y = 1 - x
এখন, প্রত্যেক x ∈ A এর জন্য y = 1 - x এর মান নির্ণয় করি।
x -2 -1 0 1 2
y 3 2 1 0 -1
যেহেতু 3 ∉ A, কাজেই ( -2, 3) ∉ R
∴ R = { (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, -1)}
∴ ডোম R = { -1, 0, 1, 2} এবং রেঞ্জ R = {- 1, 0, 1, 2}
(খ) F = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ C এবং y = 2x}, যেখানে C = { -1, 0, 1, 2, 3}
সমাধান : দেওয়া আছে, F = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ C এবং y = 2x}, যেখানে C = { -1, 0, 1, 2, 3}
F এর বর্ণিত শর্ত থেকে পাই, y = 2x
এখন, প্রত্যেক x ∈ C এর জন্য y = 2x এর মান নির্ণয় করি
x -1 0 1 2 3
y - 2 0 2 4 6
যেহেতু, -2, 4, 6 ∉ C, কাজেই (-1, - 2), (2, 4), (3, 6)∉ F
∴ F = {(0, 0), (1, 2)}
ডোম F = {0, 1} এবং রেঞ্জ F = {0, 2}
[ বি. দ্র. পাঠ্য বইয়ে উত্তরমালায় ভুল আছে।]
প্রশ্নঃ 11 : ছক কাগজে (1, 2), (-1, 1), (11, 7) বিন্দু তিনটি স্থাপন করে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধান : মনে করি, A(1,2), B(-1, 1) এবং C(11, 7) তিনটি বিন্দু।
বিন্দু তিনটির লেখ অঙ্কন : ছক কাগজে পরস্পর লম্ব দুইটি অক্ষরেখা XOX' ও YOY' টানি। এখন ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে A = (1, 2), B(-1, 1), C (11, 7) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। অত:পর A ও C বিন্দু দুইটি যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করি। দেখি যে, B বিন্দুটি অঈ সরলরেখার উপর অবস্থিত। অতএব, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত। (দেখানো হলো)
প্রশ্নঃ 12 : সার্বিক সেট U = {x : x ∈ N এবং x বিজোড় সংখ্যা}
A = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 7}
B = {x ∈ N : 3 < x < 6}
C = { x ∈ N : x² > 5 এবং x³ < 130}
ক. A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ. A'এবং C \ B নির্ণয় কর।
গ. B × C এবং চ(অ ∩ C) নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, A = { x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 7}
যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 2 অথবা 2 থেকে বড় এবং 7 এর সমান অথবা 7 অপেক্ষা ছোট বিজোড় সংখ্যা তাদের সেট
∴ A = { 3, 5, 7} (Ans.)
খ. ‘ক’ অংশ থেকে পাই A = { 3, 5, 7}
এখানে, U = {x : x ∈ N এবং x বিজোড় সংখ্যা}
= { 1, 3, 5, 7, ..........}
∴ A'= U : A = { 1, 3, 5, 7, ... } : { 3, 5, 7} = { 1, 9, 11, .............} (Ans.)
আবার, দেওয়া আছে, B = {x ∈ N : 3 < x < 6}
যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 3 থেকে বড় এবং 6 থেকে ছোট বিজোড় সংখ্যা তাদের সেট B = { 5}
এবং C = {x ∈ঘ : x² > 5 এবং x³ < 130}
যেসকল স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = { 1, 2, 3, 4, 5, .......... }
এখন, x = 1 হলে, x² = 12 = 1 ≯ 5 এবং x³ = 13 = 1 < 130
x = 3 হলে, x² = 32 = 9 > 5 এবং x³ = 33 = 27 < 130
x = 5 হলে, x² = 52 = 25 > 5 এবং x³ = 53 = 125 < 130
x = 7 হলে, x² = 72 = 49 > 5 এবং x³ = 73 = 343 ≮ 130
নির্ণেয় সেট C = {3, 5}
এখন, C \ B = { 3, 5} : { 5} = {3} (Ans.)
গ. [খ] অংশ থেকে পাই B = { 5} এবং C = {3, 5}
∴ B × C = { 5} × {3, 5} = {(5, 3), (5, 5)} (Ans.)
এখন, A ∩ C = {3, 5, 7} ∩ {3, 5} = {3, 5}
∴ P(A ∩ C) = {{3, 5}, {3}, {5}, Ø} (Ans.)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-2.2
No comments:
Post a Comment