এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৩.১
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-3.1
বীজগাণিতিক রাশি
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ বীজগাণিতিক রাশি : প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সংখ্যানির্দেশক অক্ষর প্রতীক এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়।
যেমন, 2a + 3b - 4c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে a, b, c, p, q, r, m, n, x, y, z, ........... ইত্যাদি বর্ণমালার মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণমালাকে ব্যবহার করা হয়। পাটিগণিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত রূপ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট।
বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত অক্ষর প্রতীকগুলো চলক (variables), এদের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।
◈ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি : বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয়।
সূত্র 1। (a + b)² = a² + 2ab + b²
সূত্র 2। (a - b)² = a² - 2ab + b²
সূত্র 3। a² - b² = (a + b) (a - b)
সূত্র 4। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
সূত্র 5। (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
অনুসিদ্ধান্ত 1। a² + b² = (a + b)² - 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 2। a² + b² = (a - b)² + 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 3। (a + b)² = (a - b)² + 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 4। (a -b)² = (a + b)² - 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 5। a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)
অনুসিদ্ধান্ত 6। 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর :
(ক) 2a + 3b
সমাধান : 2a + 3b এর বর্গ = (2a + 3b)²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= 4a² + 12ab + 9b² (Ans.)
(খ) 2ab + 3bc
সমাধান : 2ab + 3bc এর বর্গ
= (2ab + 3bc)²
= (2ab)² + 2 × 2ab × 3bc + (3bc)²
= 4a²b² + 12ab²c + 9b²c² (Ans.)
(ঙ) 4y - 5x
সমাধান : 4y - 5x এর বর্গ = (4y - 5x)²
= (4y)² - 2 × 4y × 5x + (5x)²
= 16y² - 40xy + 25x² (Ans.)
(চ) ab - c
সমাধান : ab - c এর বর্গ = (ab - c)²
= (ab)² -2 × ab × c + (c)²
= a²b² - 2abc + c² (Ans.)
(ছ) 5x²- y
সমাধান : 5x² - y এর বর্গ = (5x² - y)²
= (5x²)² - 2 × 5x² × y + (y)²
= 25x⁴ - 10x²y + y² (Ans.)
(জ) x + 2y + 4y
সমাধান : x + 2y + 4y এর বর্গ
= (x + 2y + 4y)² = {(x + 2y) + 4y}2
= (x + 2y)² + 2 × (x + 2y) × 4y + (4y)²
= x² + 2 × x × 2y + (2y)² + 8zx + 16yz + 16y²
= x² + 4xy + 4y² + 8zx + 16yz + 16y²
= x² + 4y² + 16y² + 4xy + 16yz + 8zx (Ans.)
(ঝ) 3p + 4q - 5r
সমাধান : 3p + 4q - 5r এর বর্গ
= (3p + 4q - 5r)²
= {(3p + 4q) - 5r}2
= (3p + 4q )² - 2 × (3p + 4q) × 5r + (5r)²
= (3p)² + 2 × 3p × 4q + (4q)² - 10r (3p + 4q) + 25r²
= 9p² + 24pq + 16q² - 30pr - 40qr + 25r²
= 9p² + 16q² + 25r² + 24pq - 40qr - 30pr (Ans.)
(ঞ) 3b - 5c - 2a
সমাধান : 3b - 5c - 2a এর বর্গ
= (3b - 5c - 2a)²
= {(3b - 5c) - 2a}2
= (3b - 5c)² - 2 × (3b - 5c) × 2a + (2a)²
= (3b)² - 2 × 3b × 5c + (5c)² - (3b - 5c) × 4a + 4a²
= 9b² - 30bc + 25c² - 12ab + 20ca + 4a²
= 4a² + 9b² + 25c² - 12ab - 30bc + 20ca (Ans.)
(ট) ax - by - cz
সমাধান : ax - by - cz এর বর্গ
= (ax - by - cz)²
= {(ax - by)² - cz}2
= (ax - by)² - 2 × (ax - by) × cz + (cz)²
= (ax)² - 2 × ax × by + (by)² - (ax - by) × 2cz + c²y²
= a²x2 - 2abxy + b²y² - 2cazx + 2bcyz + c²y²
= a²x2 + b²y² + c²y² - 2abxy + 2bcyz - 2cazx (Ans.)
(ঠ) a - b + c - d
সমাধান : a - b + c - d এর বর্গ
= (a - b + c - d)²
= {(a - b) + (c - d)}2
= (a - b)² + 2 × (a - b) × (c - d) + (c - d)²
= a² - 2 × a × b + b² + 2(a - b) (c - d) + c² - 2 × c × d + d²
= a² - 2ab + b² + 2ac - 2ad - 2bc + 2bd + c² - 2cd + d²
= a² + b² + c² + d² - 2ab + 2ac - 2ad - 2bc + 2bd - 2cd (Ans.)
(ড) 2a + 3x - 2y - 5z
সমাধান : 2a + 3x - 2y - 5z এর বর্গ
= (2a + 3x - 2y - 5y)²
= {(2a + 3x) - (2y + 5y)}2
= (2a + 3x)² - 2 × (2a + 3x) × (2y + 5y) + (2y + 5y)²
= (2a)² + 2 × 2a × 3x + (3x)² - 2(2a + 3x) (2y + 5y) + (2y)² + 2 × 2y × 5z + (5y)²
= 4a² + 12ax + 9x² - 2(4ay + 10az + 6xy + 15xy) + 4y² + 20yz + 25y²
= 4a² + 12ax + 9x² - 8ay - 20az - 12xy - 30xy + 4y² + 20yz + 25y²
= 4a² + 9x² + 4y² + 25y² + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xy + 20yz (Ans.)
(ঢ) 101
সমাধান : 101 এর বর্গ
= (101)²
= (100 + 1)²
= (100)² + 2 × 100 × 1 + (1)²
= 10000 + 200 + 1
= 10201 (Ans.)
(ণ) 997
সমাধান : 997 এর বর্গ
= (997)²
= (1000 - 3)²
= (1000)² - 2 × 1000 × 3 + (3)²
= 1000000 - 6000 + 9
= 994009 (Ans.)
(ত) 1007
সমাধান : 1007 এর বর্গ
= (1007)²
= (1000 + 7)²
= (1000)² + 2 × 1000 × 7 + (7)²
= 1000000 + 14000 + 49
= 1014049 (Ans.)
প্রশ্নঃ 2 : সরল কর :
(ক) (2a + 7)² + 2(2a + 7) (2a - 7) + (2a - 7)²
সমাধান : ধরি, 2a + 7 = x এবং 2a - 7 = y
∴ প্রদত্ত রাশি = x² + 2.x.y + y²
= x² + 2xy + y²
= (x + y)²
= {(2a + 7) + (2a -7)}2 [মান বসিয়ে]
= (2a + 7 + 2a - 7)²
= (4a)²
= 16a² (Ans.)
(খ) (3x + 2y)² + 2(3x + 2y) (3x - 2y) + (3x - 2y)²
সমাধান : ধরি, 3x + 2y = a এবং 3x - 2y = b
∴ প্রদত্ত রাশি = a² + 2. a.b + b²
= a² + 2ab + b²
= (a + b)²
= {(3x + 2y) + (3x - 2y)}2 [মান বসিয়ে]
= (3x + 2y + 3x - 2y)²
= (6x)²
= 36x² (Ans.)
(গ) (7p + 3r - 5x)² - 2 (7p + 3r - 5x) (8p - 4r - 5x) + (8p - 4r - 5x)²
সমাধান : ধরি, 7p + 3r - 5x = a এবং 8p - 4r - 5x = b
∴ প্রদত্ত রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= {(7p + 3r - 5x) - (8p - 4r - 5x)}2 [ a ও b এর মান বসিয়ে]
= (7p + 3r - 5x - 8p + 4r + 5x)²
= (- p + 7r)²
= ( - p)² + 2 × (- p) × (7r) + (7r)²
= p² -14pr + 49r²
= p² + 49r² - 14pr (Ans.)
(ঘ) (2m + 3n - p)² + (2m - 3n + p)² - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)
সমাধান : ধরি, 2m + 3n - p = a এবং 2m - 3n + p = b
∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² - 2.a.b
= (a - b)²
= {(2m + 3n - p) - (2m -3n + p)}2 [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (2m + 3n - p - 2m + 3n - p)²
= (6n - 2p)²
= (6n)² - 2 × 6n × 2p + (2p)²
= 36n² - 24np + 4p² (Ans.)
(ঙ) 6.35 × 6.35 + 2 × 6.35 × 3.65 + 3.65 × 3.65
সমাধান : ধরি, 6.35 = a এবং 3.65 = b
∴ প্রদত্ত রাশি = a × a + 2 × a × b + b × b
= a² + 2ab + b²
= (a + b)²
= (6.35 + 3.65)² [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (10)²
= 100 (Ans.)
(চ) 5874 × 5874 + 3774 × 3774 - 7548 × 5874
সমাধান : 5874 × 5874 + 3774 × 3774 - 7548 × 5874
= (5874)² + (3774)² - 2 × 5874 × 3774
ধরি, 5874 = a এবং 3774 = b
∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² - 2ab
= (a - b)²
= (5874 - 3774)² [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (2100)²
= 4410000 (Ans.)
প্রশ্নঃ 3 : a - b = 4 এবং ab = 60 হলে, a + b এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a - b = 4 এবং ab = 60
আমরা জানি, (a + b)² = (a - b)² + 4ab
= (4)² + 4 × 60 [মান বসিয়ে]
= 16 + 240 = 256
∴ a + b
= ± 256
= ±16
নির্ণেয় মান ±16
প্রশ্নঃ 4 : a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a - b এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b = 7 এবং ab = 12
আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab
= (7)² - 4 × 12 [মান বসিয়ে]
= 49 - 48
= 1
∴ a - b = ± 1 = ± 1
নির্ণেয় মান ± 1
প্রশ্নঃ 5 : a + b = 9m এবং ab = 18m² হলে, a - b এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b = 9m এবং ab = 18m²
আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab
= (9m)² - 4 × 18m² [মান বসিয়ে]
= 81m² - 72m² = 9m²
∴ a - b = ± √9m² = ± 3m
নির্ণেয় মান ± 3m
প্রশ্নঃ 6 : x - y = 2 এবং xy = 63 হলে, x² + y² এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, x - y = 2 এবং xy = 63
আমরা জানি, x² + y² = (x - y)² + 2xy
= (2)² + 2 × 63 [মান বসিয়ে]
= 4 + 126 = 130
প্রশ্নঃ 11 : a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31 হলে, a² + b² + c² এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31
আমরা জানি, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = (9)² - 2 × 31 [মান বসিয়ে]
বা, a² + b² + c² = 81 - 62
∴ a² + b² + c² = 19 (Ans.)
প্রশ্নঃ 12 : a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, (a + b + c)² এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8
আমরা জানি, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
= 9 + 2 × 8 [মান বসিয়ে]
= 9 + 16 = 25 (Ans.)
প্রশ্নঃ 13 : a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে,
(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14
প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²
= 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= 2 × 14 - {(6)² -14)} [মান বসিয়ে]
= 28 - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6 (Ans.)
প্রশ্নঃ 14 : x + y + y = 10 এবং xy + yz + zx = 31 হলে, (x + y)² + (y + z)² + (z + x)² এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, x + y + y = 10 এবং xy + yz + zx = 31
প্রদত্ত রাশি = (x + y)² + (y + z)² + (z + x)²
= x² + 2xy + y² + y² + 2yz + z² + z² + 2zx + x²
= (x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx) + (x² + y² + z²)
= (x + y + y)² + {(x + y + y)² - 2(xy + yz + zx)}
= (10)² + {(10)² - 2 × 31} [মান বসিয়ে]
= 100 + (100 - 62) = 100 + 38 = 138 (Ans.)
প্রশ্নঃ 15 : x = 3, y = 4 এবং y = 5 হলে, 9x² + 16y² + 4y² - 24xy - 16yz + 12zx এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, x = 3, y = 4 এবং y = 5
প্রদত্ত রাশি = 9x² + 16y² + 4y² - 24xy - 16yz + 12zx
= (3x)² + (- 4y)² + (2y)² + 2 × 3x × (- 4y) +
2 × (- 4y) × 2y + 2 × 2y × 3x
= (3x - 4y + 2y)²
= (3 × 3 - 4 × 4 + 2 × 5)² [মান বসিয়ে]
= (9 - 16 + 10)²
= (19 -16)²
= (3)²
= 9 (Ans.)
প্রশ্নঃ 19 : x² + 10x + 24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = x² + 10x + 24
= x² + 10x + 25 - 1
= (x)² + 2 × x × 5 + (5)² - (1)²
= (x + 5)² - 1² (Ans.)
প্রশ্ন 20 : a⁴+a²b²+b⁴=8 এবং a² + ab +b² = 4 হলে,
(i) a² + b², (ii) ab-এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4
(i) এখানে, a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab) (a² + b² - ab)
= (a² + ab + b²) (a² - ab + b²)
∴ 8 = 4(a² - ab + b²) [মান বসিয়ে]
বা, a² - ab + b² = 8/4 = 2
এখন, a² + ab + b² = 4 এবং a² - ab + b² = 2 যোগ করে পাই,
a² + ab + b² = 4
a² - ab + b² = 2
2a² + 2b² = 6
বা, 2(a² + b²) = 6
বা, a² + b² = 62 ∴ a² + b² = 3 (Ans.)
(ii) এখানে, a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
বা, (a²)² + 2a².b² + (b²)² - a²b² = 8
বা, (a² + b²)² - (ab)² = 8
বা, (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
বা, 4(a² + b² - ab) = 8
বা, a² + b² - ab = 84
বা, a² + b² - ab = 2
বা, (a² + b²) - ab = 2
বা, 3 - ab = 2
বা, - ab = 2 - 3
বা, - ab = -1 ∴ ab = 1 (Ans.)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-3.1
No comments:
Post a Comment