নবম-দশম শ্রেণির গণিত সমাধান অনুশীলনী-৩.১ | SSC General Math Solution Exercise-3.1 - Exam Cares

নতুন বই

Wednesday, December 28, 2022

নবম-দশম শ্রেণির গণিত সমাধান অনুশীলনী-৩.১ | SSC General Math Solution Exercise-3.1

৯ম-১০ম শ্রেণির
 গণিত সমাধান
 অধ্যায়: ৩
 বীজগাণিতিক রাশি

 অনুশীলনী: ৩.১

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ বীজগাণিতিক রাশি : প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সংখ্যানির্দেশক অক্ষর প্রতীক এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়।
 যেমন, 2a + 3b - 4c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে a, b, c, p, q, r, m, n, x, y, z, ........... ইত্যাদি বর্ণমালার মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণমালাকে ব্যবহার করা হয়। পাটিগণিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত রূপ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট।
 বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত অক্ষর প্রতীকগুলো চলক (variables), এদের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

◈ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি : বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয়।
সূত্র 1। (a + b)² = a² + 2ab + b²
সূত্র 2। (a - b)² = a² - 2ab + b²
সূত্র 3। a² - b² = (a + b) (a - b)
সূত্র 4। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
সূত্র 5। (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
অনুসিদ্ধান্ত 1। a² + b² = (a + b)² - 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 2। a² + b² = (a - b)² + 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 3। (a + b)² = (a - b)² + 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 4। (a -b)² = (a + b)² - 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 5। a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)
অনুসিদ্ধান্ত 6। 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর :
(ক) 2a + 3b 
সমাধান : 2a + 3b এর বর্গ = (2a + 3b)² 
 = (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
 = 4a² + 12ab + 9b² (Ans.)

(খ) 2ab + 3bc 
সমাধান : 2ab + 3bc এর বর্গ 
 = (2ab + 3bc)²
 = (2ab)² + 2 × 2ab × 3bc + (3bc)²
 = 4a²b² + 12ab²c + 9b²c² (Ans.)

(ঙ) 4y - 5x 
সমাধান : 4y - 5x এর বর্গ = (4y - 5x)²
 = (4y)² - 2 × 4y × 5x + (5x)²
 = 16y² - 40xy + 25x² (Ans.)

(চ) ab - c
সমাধান : ab - c এর বর্গ = (ab - c)²
 = (ab)² -2 × ab × c + (c)²
 = a²b² - 2abc + c² (Ans.)

(ছ) 5x²- y
সমাধান : 5x² - y এর বর্গ = (5x² - y)²
 = (5x²)² - 2 × 5x² × y + (y)² 
 = 25x⁴ - 10x²y + y² (Ans.)

(জ) x + 2y + 4y
সমাধান : x + 2y + 4y এর বর্গ 
 = (x + 2y + 4y)² = {(x + 2y) + 4y}2
 = (x + 2y)² + 2 × (x + 2y) × 4y + (4y)²
 = x² + 2 × x × 2y + (2y)² + 8zx + 16yz + 16y²
 = x² + 4xy + 4y² + 8zx + 16yz + 16y²
 = x² + 4y² + 16y² + 4xy + 16yz + 8zx (Ans.)

(ঝ) 3p + 4q - 5r
সমাধান : 3p + 4q - 5r এর বর্গ 
 = (3p + 4q - 5r)²
 = {(3p + 4q) - 5r}2
 = (3p + 4q )² - 2 × (3p + 4q) × 5r + (5r)²
 = (3p)² + 2 × 3p × 4q + (4q)² - 10r (3p + 4q) + 25r²
 = 9p² + 24pq + 16q² - 30pr - 40qr + 25r² 
 = 9p² + 16q² + 25r² + 24pq - 40qr - 30pr (Ans.)

(ঞ) 3b - 5c - 2a
সমাধান : 3b - 5c - 2a এর বর্গ 
 = (3b - 5c - 2a)²
 = {(3b - 5c) - 2a}2
 = (3b - 5c)² - 2 × (3b - 5c) × 2a + (2a)² 
 = (3b)² - 2 × 3b × 5c + (5c)² - (3b - 5c) × 4a + 4a²
 = 9b² - 30bc + 25c² - 12ab + 20ca + 4a²
 = 4a² + 9b² + 25c² - 12ab - 30bc + 20ca (Ans.)

(ট) ax - by - cz
সমাধান : ax - by - cz এর বর্গ 
 = (ax - by - cz)²
 = {(ax - by)² - cz}2
 = (ax - by)² - 2 × (ax - by) × cz + (cz)²
 = (ax)² - 2 × ax × by + (by)² - (ax - by) × 2cz + c²y²
 = a²x2 - 2abxy + b²y² - 2cazx + 2bcyz + c²y²
 = a²x2 + b²y² + c²y² - 2abxy + 2bcyz - 2cazx (Ans.)

(ঠ) a - b + c - d
সমাধান : a - b + c - d এর বর্গ 
 = (a - b + c - d)²
 = {(a - b) + (c - d)}2
 = (a - b)² + 2 × (a - b) × (c - d) + (c - d)²
 = a² - 2 × a × b + b² + 2(a - b) (c - d) + c² - 2 × c × d + d²
 = a² - 2ab + b² + 2ac - 2ad - 2bc + 2bd + c² - 2cd + d²
 = a² + b² + c² + d² - 2ab + 2ac - 2ad - 2bc + 2bd - 2cd (Ans.)

(ড) 2a + 3x - 2y - 5z
সমাধান : 2a + 3x - 2y - 5z এর বর্গ 
 = (2a + 3x - 2y - 5y)²
 = {(2a + 3x) - (2y + 5y)}2
 = (2a + 3x)² - 2 × (2a + 3x) × (2y + 5y) + (2y + 5y)²
 = (2a)² + 2 × 2a × 3x + (3x)² - 2(2a + 3x) (2y + 5y) + (2y)² + 2 × 2y × 5z + (5y)²
 = 4a² + 12ax + 9x² - 2(4ay + 10az + 6xy + 15xy) + 4y² + 20yz + 25y²
 = 4a² + 12ax + 9x² - 8ay - 20az - 12xy - 30xy + 4y² + 20yz + 25y²
 = 4a² + 9x² + 4y² + 25y² + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xy + 20yz (Ans.)

(ঢ) 101
সমাধান : 101 এর বর্গ 
 = (101)² 
 = (100 + 1)²
 = (100)² + 2 × 100 × 1 + (1)²
 = 10000 + 200 + 1
 = 10201 (Ans.)

(ণ) 997
সমাধান : 997 এর বর্গ 
 = (997)²
 = (1000 - 3)²
 = (1000)² - 2 × 1000 × 3 + (3)²
 = 1000000 - 6000 + 9
 = 994009 (Ans.)

(ত) 1007
সমাধান : 1007 এর বর্গ 
 = (1007)²
 = (1000 + 7)²
 = (1000)² + 2 × 1000 × 7 + (7)²
 = 1000000 + 14000 + 49
 = 1014049 (Ans.)

প্রশ্নঃ 2 : সরল কর : 
(ক) (2a + 7)² + 2(2a + 7) (2a - 7) + (2a - 7)²
সমাধান : ধরি, 2a + 7 = x এবং 2a - 7 = y
 ∴ প্রদত্ত রাশি = x² + 2.x.y + y²
 = x² + 2xy + y²
 = (x + y)²
 = {(2a + 7) + (2a -7)}2       [মান বসিয়ে]
 = (2a + 7 + 2a - 7)²
 = (4a)²
 = 16a² (Ans.)
 
 (খ) (3x + 2y)² + 2(3x + 2y) (3x - 2y) + (3x - 2y)²
সমাধান : ধরি, 3x + 2y = a এবং 3x - 2y = b
 ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + 2. a.b + b²
 = a² + 2ab + b²
 = (a + b)²
 = {(3x + 2y) + (3x - 2y)}2 [মান বসিয়ে]
 = (3x + 2y + 3x - 2y)²
 = (6x)²
 = 36x² (Ans.)

(গ) (7p + 3r - 5x)² - 2 (7p + 3r - 5x) (8p - 4r - 5x) + (8p - 4r - 5x)²
সমাধান : ধরি, 7p + 3r - 5x = a এবং 8p - 4r - 5x = b
 ∴ প্রদত্ত রাশি = a² - 2ab + b²
 = (a - b)²
 = {(7p + 3r - 5x) - (8p - 4r - 5x)}2 [ a ও b এর মান বসিয়ে]
 = (7p + 3r - 5x - 8p + 4r + 5x)²
 = (- p + 7r)²
  = ( - p)² + 2 × (- p) × (7r) + (7r)²
 = p² -14pr + 49r² 
 = p² + 49r² - 14pr (Ans.)

(ঘ) (2m + 3n - p)² + (2m - 3n + p)² - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)
সমাধান : ধরি, 2m + 3n - p = a এবং 2m - 3n + p = b
 ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² - 2.a.b
 = (a - b)²
 = {(2m + 3n - p) - (2m -3n + p)}2 [a ও b এর মান বসিয়ে]
 = (2m + 3n - p - 2m + 3n - p)²
 = (6n - 2p)²
 = (6n)² - 2 × 6n × 2p + (2p)²
 = 36n² - 24np + 4p² (Ans.)

(ঙ) 6.35 × 6.35 + 2 × 6.35 × 3.65 + 3.65 × 3.65
সমাধান : ধরি, 6.35 = a এবং 3.65 = b
 ∴ প্রদত্ত রাশি = a × a + 2 × a × b + b × b
 = a² + 2ab + b²
 = (a + b)²
 = (6.35 + 3.65)² [a ও b এর মান বসিয়ে]
 = (10)²
 = 100 (Ans.)

(চ) 5874 × 5874 + 3774 × 3774 - 7548 × 5874
সমাধান : 5874 × 5874 + 3774 × 3774 - 7548 × 5874
 = (5874)² + (3774)² - 2 × 5874 × 3774
 ধরি, 5874 = a এবং 3774 = b 
 ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² - 2ab
 = (a - b)²
 = (5874 - 3774)² [a ও b এর মান বসিয়ে]
 = (2100)²
 = 4410000 (Ans.)

প্রশ্নঃ 3 : a - b = 4 এবং ab = 60 হলে, a + b এর মান কত? 
সমাধান : দেওয়া আছে, a - b = 4 এবং ab = 60
 আমরা জানি, (a + b)² = (a - b)² + 4ab
 = (4)² + 4 × 60   [মান বসিয়ে]
 = 16 + 240 = 256
 ∴ a + b
 = ± 256
 = ±16
 নির্ণেয় মান ±16

প্রশ্নঃ 4 : a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a - b এর মান কত? 
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b = 7 এবং ab = 12
 আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab 
 = (7)² - 4 × 12   [মান বসিয়ে]
 = 49 - 48
 = 1
 ∴ a - b = ± 1 = ± 1
 নির্ণেয় মান ± 1

প্রশ্নঃ 5 : a + b = 9m এবং ab = 18m² হলে, a - b এর মান কত? 
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b = 9m এবং ab = 18m²
 আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab 
 = (9m)² - 4 × 18m²  [মান বসিয়ে]
 = 81m² - 72m² = 9m²
 ∴ a - b = ± √9m² = ± 3m
 নির্ণেয় মান ± 3m

প্রশ্নঃ 6 : x - y = 2 এবং xy = 63 হলে, x² + y² এর মান কত? 
সমাধান : দেওয়া আছে, x - y = 2 এবং xy = 63
 আমরা জানি, x² + y² = (x - y)² + 2xy 
 = (2)² + 2 × 63   [মান বসিয়ে]
 = 4 + 126 = 130

প্রশ্নঃ 11 : a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31 হলে, a² + b² + c² এর মান নির্ণয় কর। 
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31
 আমরা জানি, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
 বা, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 
 বা, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
 বা, a² + b² + c² = (9)² - 2 × 31   [মান বসিয়ে]
 বা, a² + b² + c² = 81 - 62 
 ∴ a² + b² + c² = 19 (Ans.)

প্রশ্নঃ 12 : a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, (a + b + c)² এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8
 আমরা জানি, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
 = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
 = 9 + 2 × 8   [মান বসিয়ে]
 = 9 + 16 = 25 (Ans.)

প্রশ্নঃ 13 : a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে,
(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 
 প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
 = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² 
 = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca) 
 = 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
 = 2 × 14 - {(6)² -14)}   [মান বসিয়ে]
 = 28 - (36 - 14)
 = 28 - 22
 = 6 (Ans.)

প্রশ্নঃ 14 : x + y + y = 10 এবং xy + yz + zx = 31 হলে, (x + y)² + (y + z)² + (z + x)² এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, x + y + y = 10 এবং xy + yz + zx = 31
 প্রদত্ত রাশি = (x + y)² + (y + z)² + (z + x)²
 = x² + 2xy + y² + y² + 2yz + z² + z² + 2zx + x²
 = (x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx) + (x² + y² + z²)
 = (x + y + y)² + {(x + y + y)² - 2(xy + yz + zx)}
 = (10)² + {(10)² - 2 × 31}   [মান বসিয়ে]
 = 100 + (100 - 62) = 100 + 38 = 138 (Ans.)

প্রশ্নঃ 15 : x = 3, y = 4 এবং y = 5 হলে, 9x² + 16y² + 4y² - 24xy - 16yz + 12zx এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, x = 3, y = 4 এবং y = 5
 প্রদত্ত রাশি = 9x² + 16y² + 4y² - 24xy - 16yz + 12zx
 = (3x)² + (- 4y)² + (2y)² + 2 × 3x × (- 4y) + 
  2 × (- 4y) × 2y + 2 × 2y × 3x
 = (3x - 4y + 2y)² 
 = (3 × 3 - 4 × 4 + 2 × 5)²   [মান বসিয়ে]
 = (9 - 16 + 10)²
 = (19 -16)²
 = (3)²
 = 9 (Ans.)

প্রশ্নঃ 19 : x² + 10x + 24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = x² + 10x + 24
  = x² + 10x + 25 - 1
  = (x)² + 2 × x × 5 + (5)² - (1)²
  = (x + 5)² - 1² (Ans.)

প্রশ্ন 20 : a⁴+a²b²+b⁴=8 এবং a² + ab +b² = 4 হলে, 
(i) a² + b², (ii) ab-এর মান নির্ণয় কর। 
সমাধান : দেওয়া আছে, a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4
 (i) এখানে, a⁴ + a²b² + b⁴
 = (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b²
 = (a² + b²)² - (ab)²
 = (a² + b² + ab) (a² + b² - ab)
 = (a² + ab + b²) (a² - ab + b²)
 ∴ 8 = 4(a² - ab + b²)  [মান বসিয়ে]
 বা, a² - ab + b² = 8/4 = 2
 এখন, a² + ab + b² = 4 এবং a² - ab + b² = 2 যোগ করে পাই,
  a² + ab + b² = 4
  a² - ab + b² = 2
  2a²    + 2b² = 6
 বা, 2(a² + b²) = 6
 বা, a² + b² = 62 ∴ a² + b² = 3 (Ans.)

(ii) এখানে, a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
  বা, (a²)² + 2a².b² + (b²)² - a²b² = 8
  বা, (a² + b²)² - (ab)² = 8
  বা, (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
  বা, 4(a² + b² - ab) = 8
  বা, a² + b² - ab = 84
  বা, a² + b² - ab = 2
  বা, (a² + b²) - ab = 2
  বা, 3 - ab = 2
  বা, - ab = 2 - 3
  বা, - ab = -1 ∴ ab = 1 (Ans.)

SSC সাধারণ গণিত | তৃতীয় অধ্যায় সমাধান গাইড pdf version | নবম-দশম শ্রেণি
SSC Exam Preparation Complete General Math Solution pdf download 2023. class 9 math solution, class 9 math solution pdf, class 9 math solution pdf 2023, class 9-10 math solution, class 9-10 math solution pdf download, class 10 math solution, class 10 math solution pdf download, ssc math solution, ssc math solution pdf, ssc math solution 2023, ssc math solution pdf 2023. ৯ম-১০ম শ্রেণির গণিত বই সমাধান, ৯ম শ্রেণির গণিত সমাধান গাইড, ৯ম শ্রেণির অংক গাইড, ১০ম শ্রেণির অংক গাইড, ৯ম শ্রেণির অংক গাইড pdf, ১০ম  শ্রেণির অংক গাইড pdf, ১০ম শ্রেণির গণিত সমাধান গাইড, ৯ম শ্রেণির গণিত সমাধান গাইড পিডিএফ ডাউনলোড, ১০ম শ্রেণির গণিত সমাধান গাইড পিডিএফ ডাউনলোড, নবম-দশম শ্রেণীর গণিত গাইড বই ডাউনলোড ২০২৩ পিডিএফ, এসএসসি গণিত সমাধান গাইড pdf. নবম-দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন সমাধান গাইড।
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-3.1
গণিত সমাধান গাইড এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
অধ্যায়-১: বাস্তব সংখ্যা

অধ্যায়-২: সেট ও ফাংশন

অধ্যায়-৩: বীজগাণিতিক রাশি

অধ্যায়-৪: সূচক ও লগারিদম

অধ্যায়-৫: এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ

অধ্যায়-৬: রেখা, কোণ ও ত্রিভূজ

অধ্যায়-৭: ব্যবহারিক জ্যামিতি

অধ্যায়-৮: বৃত্ত

অধ্যায়-৯: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

অধ্যায়-১০: দূরত্ব ও উচ্চতা

অধ্যায়-১১: বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত

অধ্যায়-১২: দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ

অধ্যায়-১৩: সসীম ধারা

অধ্যায়-১৪: অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা

অধ্যায়-১৫: ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য

অধ্যায়-১৬: পরিমিতি

অধ্যায়-১৭: পরিসংখ্যান


No comments:

Post a Comment