এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৩.২
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-3.2
বীজগাণিতিক রাশি
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ ঘন সংবলিত সূত্রাবলি
সূত্র 6। (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab (a + b)
সূত্র 7। (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= a³ - b³ - 3ab(a - b)
সূত্র 8। a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
সূত্র 9। a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
অনুসিদ্ধান্ত 9। a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab (a + b)
অনুসিদ্ধান্ত 10। a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab (a - b)
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর :
(ক) 2x + 5
সমাধান : 2x + 5 এর ঘন= (2x + 5)³
= (2x)³ + 3.(2x)².5 + 3.(2x).(5)² + (5)³
= 8x³ + 3.4x².5 + 3.2x.25 + 125
= 8x³ + 60x² + 150x + 125 (Ans.)
(খ) 2x² + 3y²
সমাধান : 2x² + 3y² এর ঘন
= (2x² + 3y²)³
= (2x²)³ + 3.(2x²)² .3y² + 3.2x² .(3y²)² + (3y²)³
= 8x⁶ + 3.4x4. 3y² + 3.2x².9y⁴+ 27y⁶
= 8x⁶ + 36x⁴y² + 54x²y⁴ + 27y⁶ (Ans.)
(গ) 4a - 5x²
সমাধান : 4a - 5x² এর ঘন
= (4a - 5x²)³
= (4a)³ - 3. (4a)².5x² + 3.4a.(5x²)² - (5x²)³
= 64a³ - 3.16a².5x² + 3.4a.25x⁴ - 125x⁶
= 64a³ - 240a²x² + 300ax⁴ - 125x⁶ (Ans.)
(ঘ) 7m² - 2n
সমাধান : 7m² - 2n এর ঘন
= (7m² - 2n)³
= (7m²)³ - 3.(7m²)².2n + 3.7m².(2n)² - (2n)³
= 343m⁶ - 3.49m⁴.2n + 3.7m² .4n² - 8n³
= 343m⁶ - 294m⁴n + 84m²n² - 8n³ (Ans.)
(ঙ) 403
সমাধান : 403 এর ঘন= (403)³
= (400 + 3)³
= (400)³ + 3.(400)².3 + 3.400.(3)² + (3)³
= 64000000 + 3.160000.3 + 3.400.9 + 27
= 64000000 + 1440000 + 10800 + 27
= 65450827 (Ans.)
(চ) 998
সমাধান : 998 এর ঘন= (998)³
= (1000 - 2)³
= (1000)³ - 3.(1000)².2 + 3. 1000.(2)² - (2)³
= 1000000000 – 3.1000000.2 + 3.1000.4 - 8
= 1000000000 - 6000000 + 12000 - 8
= 994011992 (Ans.)
(ছ) 2a - b - 3c
সমাধান : 2a - b - 3c এর ঘন
= (2a - b - 3c)³
= {(2a - b) - 3c}³
= (2a - b)³ - 3. (2a - b)². 3c + 3.(2a - b).(3c)² - (3c)³
=(2a)³-3.(2a)².b+3.2a.(b)²-(b)³-3{(2a)² - 2.2a.b + (b)².3c + 3.(2a - b). 9c² - 27c³
=8a³-12a²b+6ab²-b³-3(4a²-4ab+b²).3c + 54ac² - 27bc² - 27c³
=8a³-12a²b+6ab²-b³-36a²c+36abc-9b²c + 54ac² - 27bc² - 27c³
=8a³-b³-27c³-12a²b-36a²c+6ab²+54ac² - 9b²c - 27bc² + 36abc (Ans.)
প্রশ্নঃ 2 : সরল কর :
(ক) (4a - 3b)³ - 3(4a - 3b)²(2a - 3b) + 3(4a - 3b) (2a - 3b)² - (2a - 3b)³
সমাধান : ধরি, 4a - 3b = x এবং 2a - 3b = y
∴ প্রদত্ত রাশি= x³ - 3x²y + 3xy² - y³
= (x - y)³
= {(4a - 3b) - (2a - 3b)}³ [মান বসিয়ে]
= (4a - 3b - 2a + 3b)³
= (2a)³ = 8a³ (Ans.)
(খ) (2x + y)³ + 3(2x + y)²(2x - y) + 3(2x + y)(2x - y)² + (2x - y)³
সমাধান : ধরি, 2x + y = a এবং 2x - y = b
∴ প্রদত্ত রাশি= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (a + b)³
= {(2x + y) + (2x - y)}³ [মান বসিয়ে]
= (2x + y + 2x - y)³
= (4x)³ = 64x³ (Ans.)
(গ) (7x + 3b)³ - (5x + 3b)³ - 6x(7x + 3b)(5x + 3b)
সমাধান : (7x + 3b)³ - (5x + 3b)³ - 6x(7x + 3b)(5x + 3b)
= (7x + 3b)³ - (5x + 3b)³ - 3.2x.(7x + 3b) (5x + 3b)
ধরি, 7x + 3b = p এবং 5x + 3b = q
এখানে, p - q = 7x + 3b - 5x - 3b = 2x
∴ প্রদত্ত রাশি = p³ - q³ - (3.p - q)pq
= p³ - q³ - 3pq(p - q)
= (p - q)³
= {(7x + 3b) - (5x + 3b)}³ [মান বসিয়ে]
= (7x + 3b - 5x - 3b)³
= (2x)³
= 8x³ (Ans.)
(ঘ) (x - 15)³ + (16 - x)³ + 3(x - 15)(16 - x)
সমাধান : ধরি, x - 15 = a এবং 16 - x = b
এখানে, a + b = x - 15 + 16 - x = 1
∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3.1.ab
= a³ + b³ + 3ab(a + b)
= (a + b)³
= {(x - 15) + (16 - x)}³ [মান বসিয়ে]
= (x - 15 + 16 - x)³ = (1)³
= 1 (Ans.)
(ঙ) (a + b + c)³ – (a – b – c)³ – 6(b + c) {a² – (b + c)²}
সমাধান : ধরি, a + b + c = x এবং a - b - c = y
∴ x - y = (a + b + c) - (a - b - c)
= a + b + c - a + b + c
= 2b + 2c = 2(b + c)
∴ প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 3(x - y)xy
= x³ - y³ - 3xy(x - y)
= (x - y)³
= {2(b + c)}³ [মান বসিয়ে]
= 8(b + c)³ (Ans.)
(চ) (m + n)⁶ - (m - n)⁶ - 12mn(m² - n²)²
সমাধান : প্রদত্ত রাশি,
(m + n)⁶ - (m - n)⁶ - 12mn(m² - n²)²
= (m + n)⁶ - (m - n)⁶ - 3.4mn(m² - n²)²
ধরি, m + n = a এবং m - n = b
এখানে, a + b = m + n + m - n = 2m
এবং a - b = m + n - m + n = 2n
∴ (a + b)(a - b) = 4mn
বা, (a² - b²) = 4mn
এবং ab = (m + n) (m - n)
= (m² - n²)
∴ a²b² = (ab)² = (m² - n²)²
∴ প্রদত্ত রাশি = a⁶ - b⁶ - 3a²b²(a² - b²)
= (a²)³ - (b²)³ - 3a²b²(a² - b²)
= (a² - b²)³
= (4mn)³ [(a² - b²) এর মান বসিয়ে]
= 64m³n³ (Ans.)
(ছ) (x + y) (x² – xy + y²) + (y + z) (y² – yz + y²) + (z + x) (y² – zx + x²)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = (x + y) (x² – xy + y²) + (y + z) (y² – yz
+ y²) + (z + x) (y² – zx + x²)
= (x³ + y³) + (y³ + y³) + (y³ + x³)
= x³ + y³ + y³ + y³ + y³ + x³
= 2x³ + 2y³ + 2y³
= 2(x³ + y³ + y³) (Ans.)
(জ) (2x + 3y - 4z)³ + (2x - 3y + 4z)³ + 12x {4x² - (3y - 4z)²}
সমাধান : (2x + 3y - 4z)³ + (2x - 3y + 4z)³ + 12x {4x² - (3y - 4z)²}
= (2x + 3y - 4z)³ + (2x - 3y + 4z)³ + 3.4x.{4x² - (3y - 4z)²}
ধরি, 2x + 3y - 4z = a এবং 2x - 3y + 4z = b
এখানে, a + b = 2x + 3y - 4z + 2x - 3y + 4z = 4x
ab= (2x + 3y - 4z)(2x - 3y + 4z)
= {2x + (3y - 4z)}{2x - (3 - 4y)}
= {(2x)² - (3y - 4z)²}
∴ প্রদত্ত রাশি= a³ + b³ + 3(a + b)ab
= a³ + b³ + 3ab(a + b)
= (a + b)³
= {(2x + 3y - 4z) + (2x - 3y + 4z)}³ [মান বসিয়ে]
= {2x + 3y - 4z + 2x - 3y + 4z)³
= (4x)³
= 64x³ (Ans.)
প্রশ্নঃ 3 : a – b = 5 এবং ab = 36 হলে, a³ - b³ এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a – b = 5 এবং ab = 36
∴ প্রদত্ত রাশি = a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
= (5)³ + 3.36.5 [মান বসিয়ে]
= 125 + 540
= 665 (Ans.)
প্রশ্নঃ 4 : যদি a³ - b³ = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a³ - b³ = 513 এবং a - b = 3
আমরা জানি, (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b)
বা, 3ab(a - b) = (a³ - b³) - (a - b)³
বা, 3ab. 3 = 513 - (3)³ [মান বসিয়ে]
বা, 9ab = 513 - 27
বা, 9ab = 486
বা, ab = 486÷9
∴ ab = 54 (Ans.)
প্রশ্নঃ 5 : x = 19 এবং y = - 12 হলে, 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, x = 19 এবং y = - 12
∴ প্রদত্ত রাশি = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
= (2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
= (2x + 3y)³
= {2 × 19 + 3 × (-12)}³ [x ও y-এর মান বসিয়ে]
= (38 - 36)³
= (2)³
= 8 (Ans.)
প্রশ্নঃ 6 : যদি a = 15 হয়, তবে 8a³ + 60a² + 150a + 130 এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a = 15
∴ প্রদত্ত রাশি= 8a³ + 60a² + 150a + 130
= (2a)³ + 3.(2a)².5 + 3.2a.(5)² + (5)³ + 5
= (2a + 5)³ + 5
= (2 × 15 + 5)³ + 5
= (30 + 5)³ + 5
= 42875 + 5
= 42880 (Ans.)
প্রশ্নঃ 7 : a = 7 এবং b = - 5 হলে, (3a - 5b)³ + (4b - 2a)³ + 3(a - b) (3a - 5b)(4b - 2a) এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, a = 7 এবং b = - 5
ধরি, 3a - 5b= x এবং 4b - 2a = y
x + y = (3a - 5b) + (4b - 2a)
= 3a - 5b + 4b - 2a = a - b
∴ প্রদত্ত রাশি = x³ + y³ + 3(x + y)xy
= x³ + y³ + 3xy(x + y = (x + y)³
= (3a - 5b + 4b - 2a)³ [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (a - b)³
= {7 - (-5)}³ [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (7 + 5)³
= (12)³
= 1728 (Ans.)
প্রশ্নঃ 8 : যদি a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তবে দেখাও যে, m³ + 2p³ = 3mn
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³
বামপক্ষ = m³ + 2p³
= (a + b)³ + 2(a³ + b³) [মান বসিয়ে]
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b3
= 3(a³ + a²b + ab² + b³)
= 3{a²(a + b) + b²(a + b)}
= 3(a + b)(a² + b²)
= 3mn [মান বসিয়ে] = ডানপক্ষ
∴ m³ + 2p³ = 3mn (দেখানো হলো)
প্রশ্নঃ 9 : যদি x + y = 1 হয়, তবে দেখাও যে, x³ + y³ - xy = (x - y)²
সমাধান : দেওয়া আছে, x + y = 1
বামপক্ষ = x³ + y³ - xy
= (x + y) (x² - xy + y²) - xy
= 1.(x² - xy + y²) - xy [মান বসিয়ে]
= x² - xy + y² - xy
= x² - 2xy + y² = (x - y)² = ডানপক্ষ
∴ x³ + y³ - xy = (x - y)² (দেখানো হলো)
প্রশ্নঃ 10 : a + b = 3 এবং ab = 2 হলে,
(ক) a² - ab + b² এবং (খ) a³ + b³ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : (ক) দেওয়া আছে, a + b = 3 এবং ab = 2
∴ প্রদত্ত রাশি = a² - ab + b²
= a² + b² - ab
= (a + b)² - 2ab - ab
= (a + b)² - 3ab
= (a – b)² + 3ab
= (3)² - 3 × 2 [মান বসিয়ে]
= 9 - 6
= 3 (Ans.)
(খ) দেওয়া আছে, a + b = 3 এবং ab = 2
∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (3)³ - 3.2.3 [মান বসিয়ে]
= 27 - 18
= 9 (Ans.)
প্রশ্নঃ 11 : a - b = 5 এবং ab = 36 হলে,
(ক) a² + ab + b² এবং (খ) a³ - b³ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : (ক) দেওয়া আছে, a - b = 5 এবং ab = 36
∴ প্রদত্ত রাশি = a² + ab + b² = a² + b² + ab
= (a - b)² + 2ab + ab
= (a - b)² + 3ab
= (5)² + 3.36 [মান বসিয়ে]
= 25 + 108
= 133 (Ans.)
(খ) দেওয়া আছে, a - b = 5 এবং ab = 36
∴ প্রদত্ত রাশি= a³ - b³
= (a - b)³ + 3ab(a - b)
= (5)³ + 3.36.5 [মান বসিয়ে]
= 125 + 540
= 665 (Ans.)
প্রশ্নঃ 15 : যদি a + b + c = 0 হয়, তবে দেখাও যে,
(ক) a³ + b³ + c³ = 3abc
সমাধান : দেওয়া আছে, a + b + c = 0
বা, a + b = - c
বা, (a + b)³ = (- c)³ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, a³ + b³ + 3ab(a + b) = - c³
বা, a³ + b³ + 3ab(-c) = - c³
[যেহেতু a + b + c = 0 ∴ a + b = - c]
বা, a³ + b³ - 3abc = - c³
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc (দেখানো হলো)
প্রশ্নঃ 16 : p - q = r হলে, দেখাও যে, p³ - q³ - r³ = 3pqr
সমাধান : দেওয়া আছে, p - q = r
বামপক্ষ = p³ - q³ - r³
= (p - q)³ + 3pq(p - q) - r³
= (r)³ + 3pq.(r) - r³
= r³ + 3pqr - r³ [মান বসিয়ে]
= 3pqr = ডানপক্ষ
∴ p³ - q³ - r³ = 3pqr (দেখানো হলো)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-3.2
No comments:
Post a Comment