এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৩.৩
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-3.3
বীজগাণিতিক রাশি
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ উৎপাদকে বিশ্লেষণ
কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয়।
কোনো বীজগাণিতিক রাশির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলো নির্ণয় করার পর রাশিটিকে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়।
বীজগাণিতিক রাশিগুলো এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে। সেজন্য উক্ত রাশির উৎপাদকগুলোও এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে।
◈ উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল :
(ক) কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা প্রথম বের করে নিতে হয়। যেমন:
(i) 3a²b + 6ab² + 12a²b² = 3ab(a + 2b + 4ab)
(ii) 2ab(x - y) + 2bc(x - y) + 3ca(x - y) = (x - y)(2ab + 2bc + 3ca)
(খ) একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করে।
যেমনঃ 4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 × 2x × 3 + (3)² = (2x + 3)² = (2x + 3) (2x + 3)
(গ) একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a² - b² = (a + b) (a - b) সূত্র প্রয়োগ করে।
(ঘ) x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) সূত্রটি ব্যবহার করে।
এ পদ্ধতিতে x² + px + q আকারের বহুপদীয় উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি পূর্ণসংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab = q হয়। এজন্য q- এর দুইটি স্বচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয়। q > 0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত এবং q < 0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।
(ঙ) ax² + bx + c আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে : ax² + bx + c = (rx + p)(sx + q) হবে।
অতএব, ax² + bx + c আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ধপ, অর্থাৎ, x² এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয়।
(চ) একটি রাশিকে পূর্ণ ঘন আকারে প্রকাশ করে।
(ছ) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)এবং a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) সূত্র দুইটি ব্যবহার করে।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর (1 - 43) :
প্রশ্নঃ 1 : a² + ab + ac + bc
সমাধান : a² + ab + ac + bc
= a(a + b) + c(a + b)
= (a + b)(a + c) (Ans.)
প্রশ্নঃ 2 : ab + a – b – 1
সমাধান : ab + a – b – 1
= a(b + 1) – 1(b + 1)
= (b + 1) (a – 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 3 : (x – y)(x + y) + (x – y)(y + z) + (x – y)(z + x)
সমাধান : (x – y)(x + y) + (x – y)(y + z) + (x – y)(z + x)
= (x – y){(x + y) + (y + z) + (z + x)}
= (x – y) (x + y + y + y + y + x)
= (x - y) (2x + 2y + 2y)
= (x – y) {2(x + y + y)}
= 2(x – y) (x + y + y) (Ans.)
প্রশ্নঃ 4 : ab(x – y) – bc(x – y)
সমাধান : ab(x – y) – bc(x – y)
= (x – y)(ab – bc)
= (x – y) {b(a – c)}
= b(x – y)(a – c) (Ans.)
প্রশ্নঃ 5 : 9x² + 24x + 16
সমাধান : 9x² + 24x + 16
= (3x)² + 2 × 3x × 4 + (4)²
= (3x + 4)² (Ans.)
প্রশ্নঃ 6 : a⁴ – 27a² + 1
সমাধান : a⁴ – 27a² + 1
= (a²)² – 2.a².1 + (1)² – 25a²
= (a² – 1)² – (5a)²
= (a² – 1 + 5a) (a² – 1 – 5a)
= (a² + 5a – 1) (a² – 5a – 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 7 : x⁴ – 6x²y² + y⁴
সমাধান : x⁴ – 6x²y² + y⁴
= (x²)² - 2 × x² × y² + (y²)² – 4x²y²
= (x² - y²)² – (2xy)²
= (x² - y² + 2xy)(x² - y² – 2xy)
= (x² + 2xy - y²) (x² - 2xy - y²) (Ans.)
প্রশ্নঃ 8 : (a² – b²) (x² – y²) + 4abxy
সমাধান : (a² – b²) (x² – y²) + 4abxy
= a²x² – a²y² – b²x² + b²y² + 2abxy + 2abxy
= a²x² + 2abxy + b²y² – a²y² + 2abxy – b²x²
= a²x² + 2abxy + b²y² – (a²y² – 2abxy + b²x²)
= {(ax)² + 2.ax.by + (by)²}– {(ay)²– 2.ay.bx + (bx)²}
= (ax + by)² – (ay – bx)²
= (ax + by + ay – bx) (ax + by – az + bx) (Ans.)
প্রশ্নঃ 9 : 4a² – 12ab + 9b² – 4c²
সমাধান : 4a² – 12ab + 9b² – 4c²
= (2a)² – 2 × 2a × 3b + (3b)² – 4c²
= (2a – 3b)² – (2c)²
= (2a – 3b + 2c)(2a – 3b – 2c) (Ans.)
প্রশ্নঃ 10 : 9x⁴ – 45a²x² + 36a⁴
সমাধান : 9x⁴ – 45a²x² + 36a⁴
= 9(x⁴ – 5a²x² + 4a⁴)
= 9(x⁴ – 4a²x² – a²x² + 4a⁴)
= 9{x²(x² – 4a²) – a²(x² – 4a²)}
= 9(x² – 4a²)(x² – a²)
= 9{(x²)² – (2a)²}(x + a)(x – a)
= 9 (x + 2a)(x – 2a)(x + a)(x – a)
= 9 (x + a)(x – a)(x + 2a)(x – 2a) (Ans.)
প্রশ্নঃ 11 : a² + 6a + 8 – y² + 2y
সমাধান : a² + 6a + 8 – y² + 2y
= a² + 6a + 9 – 1 – y² + 2y
= a² + 6a + 9 - (1 – 2y + y²)
= (a)² + 2 . a . 3 + (3)² – (12 – 2 . 1 . y + y²)
= (a + 3)² – (1 – y)²
= (a + 3 + 1 – y)(a + 3 – 1 + y)
= (a - y + 4)(a + y + 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 12 : 16x² – 25y² – 8xy + 10yz
সমাধান : 16x² – 25y² – 8xy + 10yz
= (4x)² – (5y)² – 2y(4x – 5y)
= (4x – 5y) (4x + 5y) – 2y(4x – 5y)
= (4x – 5y) (4x + 5z – 2y) (Ans.)
প্রশ্নঃ 13 : 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² – a⁴ – b⁴ – c4
সমাধান : 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² – a⁴ – b⁴ – c4
= 4b²c² - 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² - a⁴ - b⁴ - c4
= 4b²c² - (a⁴ + b⁴ + প4 + 2b²c² - 2c²a² - 2a²b²)
= 4b²c² - {(b²)² + (c²)² + (-a²)² + 2.b².c² + 2.c².(-a²) + 2.(-a²).b²}
= (2bc)² - (b² + c² - a²)²
= (2bc + b² + c² - a²)(2bc - b² - c² + a²)
= (b² + 2bc + c² - a²){a² - (b² - 2bc + c²)}
= {(b + c)² - a²}{a² - (b - c)²}
= (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(c + a - b) (Ans.)
প্রশ্নঃ 14 : x² + 13x + 36
সমাধান : x² + 13x + 36
= x² + 4x + 9x+ 36
= x(x + 4) + 9(x + 4)
= (x + 4)(x + 9) (Ans.)
প্রশ্নঃ 15 : x⁴ + x² – 20
সমাধান : x⁴ + x² – 20
= x⁴ + 5x² – 4x² – 20
= x²(x² + 5) – 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x² – 4)
= (x² + 5)(x² – 22)
= (x² + 5) (x + 2) (x - 2)
= (x + 2)(x – 2)(x² + 5) (Ans.)
প্রশ্নঃ 16 : a² – 30a + 216
সমাধান : a² – 30a + 216
= a² – 18a - 12a + 216
= a(a – 18) – 12(a – 18)
= (a – 18)(a – 12) (Ans.)
প্রশ্নঃ 17 : x⁶y⁶ – x³y³ – 6
সমাধান : x⁶y⁶ – x³y³ – 6
= x⁶y⁶ – 3x³y³ + 2x³y³ – 6
= x³y³(x³y³ – 3) + 2(x³y³ – 3)
= (x³y³ - 3)( x³y³ + 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 18 : a⁸ – a⁴ – 2
সমাধান : a⁸ – a⁴ – 2
= a⁸ – 2a⁴ + a⁴ – 2
= a⁴(a⁴ – 2) + 1(a⁴ – 2)
= (a⁴ - 2)(a⁴ + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 19 : a²b² – 8ab - 105
সমাধান : a²b² – 8ab - 105
= a²b² – 15ab + 7ab - 105
= ab(ab – 15) + 7(ab – 15)
= (ab - 15) (ab + 7)
= (ab + 7)(ab – 15) (Ans.)
প্রশ্নঃ 20 : x² – 37x – 650
সমাধান : x² – 37x – 650
= x² – 50x + 13x – 650
= x(x – 50) + 13(x – 50)
= (x – 50)(x + 13)
= (x + 13) (x – 50) (Ans.)
প্রশ্নঃ 21 : 4x⁴ – 25x² + 36
সমাধান : 4x⁴ – 25x² + 36
= 4x⁴ – 16x² – 9x² + 36
= 4x²(x² – 4) – 9(x² – 4)
= (x² – 4)(4x² – 9)
= (x² – 22) {(2x)² – 32}
= (x + 2)(x – 2)(2x + 3)(2x – 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 22 : 12x² – 38x + 20
সমাধান : 12x² – 38x + 20
= 12x² – 30x – 8x + 20
= 6x(2x – 5) - 4(2x – 5)
= (2x – 5)(6x – 4)
= (2x – 5) {2(3x – 2)}
= 2(2x - 5)(3x - 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 23 : 9x²y² – 5xy² – 14y²
সমাধান : 9x²y² – 5xy² – 14y²
= y²(9x² – 5x – 14)
= y²(9x² + 9x– 14x– 14)
= y² {(9x(x + 1) – 14(x + 1)}
= y²(x + 1)(9x– 14)
= y²(x + 1)(9x– 14) (Ans.)
প্রশ্নঃ 24 : 4x⁴ – 27x² – 81
সমাধান : 4x⁴ – 27x² – 81
= 4x⁴ – 36x² + 9x² – 81
= 4x²(x² – 9) + 9(x² - 9)
= (x² – 9)(4x² + 9)
= (x² – 32)(4x² + 9)
= (x + 3)(x – 3)(4x² + 9) (Ans.)
প্রশ্নঃ 25 : ax² + (a² + 1)x + a
সমাধান : ax² + (a² + 1)x + a
= ax² + a²x + x + a
= ax(x + a) + 1(x + a)
= (x + a)(ax + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 26 : 3(a² + 2a)² – 22(a² + 2a) + 40
সমাধান : ধরি, a² + 2a = x
∴ প্রদত্ত রাশি= 3x² – 22x + 40
= 3x² – 12x – 10x + 40
= 3x(x – 4) – 10(x – 4)
= (x – 4)(3x – 10)
= {(a² + 2a) – 4}{3(a² + 2a) – 10} [x এর মান বসিয়ে)
= (a² + 2a – 4)(3a² + 6a – 10) (Ans.)
প্রশ্নঃ 27 : 14(x + y)² – 29(x + y)(x + 1) – 15(x + 1)²
সমাধান : ধরি, x + y = a এবং x + 1 = b
∴ প্রদত্ত রাশি= 14a² – 29ab – 15b²
= 14a² – 35ab + 6ab – 15b²
= 7a(2a – 5b) + 3b(2a – 5b)
= (2a – 5b)(7a+ 3b)
= {2(x + y) – 5(x + 1)} {7(x + y) + 3(x + 1)} [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (2x + 2y – 5x – 5) (7x + 7z + 3x + 3)
= (2y - 3x - 5)(10x + 7z + 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 28 : (4a – 3b)² – 2(4a – 3b)(a + 2b) – 35(a + 2b)²
সমাধান : ধরি, 4a – 3b = x এবং a + 2b = y
∴ প্রদত্ত রাশি= x² – 2xy – 35y²
= x² + 5xy – 7xy – 35y²
= x(x + 5y) – 7z(x + 5y)
= (x + 5y)(x – 7y)
={(4a–3b)+5(a+2b)}{(4a–3b) – 7(a + 2b)} [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (4a – 3b + 5a + 10b)(4a – 3b – 7a - 14b)
= (9a + 7b)(- 3b – 17b)
= ( - 1)(9a + 7b)(3b + 17b)
= - (3b + 17b)(9a + 7b) (Ans.)
প্রশ্নঃ 29 : (a – 1)x² + a²xy + (a + 1)y²
সমাধান : ধরি, a - 1 = p এবং a + 1 = q
∴(a - 1)(a + 1) = pq বা, a² - 1 = pq
∴ a² = pq + 1
∴ প্রদত্ত রাশি= px² + (pq + 1)xy + qy²
= px² + pqxy + xy + qy²
= px(x + qy) + y(x + qy)
= (x + qy)(px + y)
={x + (a + 1)y} {(a - 1)x + y} [p ও q এর মান বসিয়ে]
= (x + az + y)(ax - x + y) (Ans.)
প্রশ্নঃ 30 : 24x⁴ - 3x
সমাধান : 24x⁴ - 3x
= 3x (8x³ - 1)
= 3x{(2x)³ - 1}
= 3x{(2x - 1){(2x)² + 2x.1 + (1)²}
= 3x(2x - 1)(4x² + 2x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 31 : (a² + b²)³ + 8a³b³
সমাধান : (a² + b²)³ + 8a³b³
= (a² + b²)³ + (2ab)³
= {(a² + b²) + 2ab}{(a² + b²)² - (a² + b²).2ab + (2ab)²}
= (a² + b² + 2ab){(a²)² + 2.a².b² + (b²)² - 2a³b - 2ab³ + 4a²b²}
= (a + b)²(a⁴ + 2a²b² + b⁴ - 2a³b - 2ab³ + 4a²b²)
= (a + b)²(a⁴ – 2a³b + 6a²b² - 2ab³ + b⁴) (Ans.)
প্রশ্নঃ 32 : x³ + 3x² + 3x + 2
সমাধান : x³ + 3x² + 3x + 2
= (x)³ + 3.x².1 + 3.x.1² + (1)³ + 1
= (x + 1)³ + 1
= (x + 1)³ + (1)³
= {(x + 1) + 1}{(x + 1)² - (x + 1).1 + (1)²}
= (x + 1 + 1)(x² + 2x + 1 - x - 1 + 1)
= (x + 2)(x² + x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 33 : a³ – 6a² + 12a - 9
সমাধান : a³ – 6a² + 12a - 9
= (a)³ - 3.(a)².2 + 3.a.(2)² - (2)³ - 1
= (a - 2)³ - 1 = (a - 2)³ - (1)³
= {(a - 2) - 1}{(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
= (a - 2 - 1)(a² - 2.a.2 + 2² + a - 2 + 1)
= (a - 3)(a² - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3)(a² - 3b + 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 34 : a³ – 9b³ + (a + b)³
সমাধান : a³ – 9b³ + (a + b)³
= a³ – b³ + (a + b)³ – 8b³
= (a - b)(a² + ab + b²) + (a + b)³ - (2b)³
= (a – b) (a² + ab + b²) + (a + b – 2b) {(a + b)² + (a + b).2b + (2b)²}
= (a – b) (a² + ab + b²) + (a – b)
(a² + 2ab + b² + 2ab + 2b² + 4b²)
= (a – b) (a² + ab + b²) + (a – b) (a² + 4ab + 7b²)
= (a – b) (a² + ab + b² + a² + 4ab + 7b²)
= (a – b) (2a² + 5ab + 8b²) (Ans.)
প্রশ্নঃ 35 : 8x³ + 12x² + 6x - 63
সমাধান : 8x³ + 12x² + 6x - 63
= (2x)³ + 3.(2x)².1 + 3.2x.(1)² + (1)³ - 1 - 63
= (2x + 1)³ - 64 = (2x + 1)³ - (4)³
= {(2x + 1) - 4}{(2x + 1)² + (2x + 1) × 4 + (4)²}
= (2x + 1 - 4){(2x)² + 2.2x.1 + (1)² + 8x + 4 + 16)}
= (2x - 3)(4x² + 4x + 1 + 8x + 20)
= (2x - 3)(4x² + 12x + 21) (Ans.)
প্রশ্নঃ 40 : (3b + 1)³ - (2a - 3)³
সমাধান : ধরি, 3b + 1 = p এবং 2a - 3 = q
∴ প্রদত্ত রাশি= p³ – q³ = (p - q)(p² + pq + q²)
={(3b+1)-(2a-3)}{(3b+1)²+ (3b + 1) (2a - 3) + (2a - 3)²} [p ও q এর মান বসিয়ে]
=(3b+1-2a+3){((3a)²+2.3b.1+(1)²+6a²-9a+2a-3+(2a)²- 2.2a.3 + (3)²}
=(a+4){9a²+6a+1+6a²-7a-3+4a²- 12a + 9}
= (a + 4) (19a² - 13b + 7) (Ans.)
প্রশ্নঃ 41 : (x + 5)(x - 9) - 15
সমাধান : (x + 5)(x - 9) - 15
= x² + (5 – 9)x + 5.(-9) - 15
= x² - 4x - 45 - 15
= x² - 4x - 60
= x² - 10x + 6x - 60
= x(x - 10) + 6(x - 10)
= (x - 10)(x + 6)
= (x + 6)(x - 10) (Ans.)
প্রশ্নঃ 42 : (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 48
সমাধান : (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 48
= (x + 3)(x + 4)(x + 2)(x + 5) - 48
= (x² + 7x + 12)(x² + 7x + 10) - 48
ধরি, x² + 7x = a
∴ প্রদত্ত রাশি= (a + 12)(a + 10) - 48
= a² + (12 + 10)a + 12.10 - 48
= a² + 22a + 120 - 48
= a² + 22a + 72
= a² + 4a + 18a + 72
= a(a + 4) + 18(a + 4)
= (a + 4)(a + 18)
= (x² + 7x + 4)(x² + 7x + 18) [a এর মান বসিয়ে] (Ans.)
প্রশ্নঃ 43 : (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 65
সমাধান : (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 65
= (x - 1)(x - 7)(x - 3)(x - 5) - 65
= (x² - 8x + 7)(x² - 8x + 15) - 65
ধরি, x² - 8x = a
∴ প্রদত্ত রাশি = (a + 7)(a + 15) - 65
= a² + (7 + 15)a + 7.15 - 65
= a² + 22a +105 - 65
= a² + 22a + 40
= a² + 20a + 2a + 40
= a(a + 20) + 2(a + 20)
= (a + 20)(a + 2)
= (x² - 8x + 20)(x² - 8x + 2) [a এর মান বসিয়ে] (Ans.)
প্রশ্নঃ 44 : দেখাও যে, x³ + 9x² + 26x + 24 = (x + 2) (x + 3)(x + 4)
সমাধান : বামপক্ষ = x³ + 9x² + 26x + 24
= (x)³ + 3.(x)².3 + 3.x.(3)² + (3)³ - x - 3
= (x + 3)³ - x - 3
= (x + 3)³ - 1(x + 3)
= (x + 3){(x + 3)² - (1)²}
= (x + 3)(x + 3 + 1)(x + 3 - 1)
= (x + 3)(x + 4)(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)(x + 4) = ডানপক্ষ
∴ x³ + 9x² + 26x + 24 = (x + 2)(x + 3)(x + 4) (দেখানো হলো)
প্রশ্নঃ 45 : দেখাও যে, (x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4) = (3x² + 2x - 1) (3x² + 2x - 8)
সমাধান : বামপক্ষ : = (x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4)
= (x + 1)(3x - 1)(x + 2)(3x - 4)
= (3x² + 3x - x - 1) (3x² + 6x - 4x - 8)
= (3x² + 2x - 1)(3x² + 2x - 8) = ডানপক্ষ
∴(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4) = (3x²+2x-1) (3x² + 2x - 8) (দেখানো হলো)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-3.3
No comments:
Post a Comment