এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ১৬.৪
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-16.4
পরিমিতি
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
আয়তাকার ঘনবস্তু :
তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।
মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু। এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c
(1) কর্ণ নির্ণয় : ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF
△ABC-এ BC ⊥ AB এবং AC অতিভুজ।
∴ AC² = AB2 + BC² = a² + b²
আবার, △ACF এ FC ⊥ AC এবং AF অতিভুজ।
∴ AF² = AC² + CF² = a² + b² + c²
∴ AF = √a² + b² + c²
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণ = √a² + b² + c²
(2) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6টি তল
যেখানে, বিপরীত তলগুলো পরস্পর সমান।
আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল)
= 2(AB × AD + AB × AH + BC × BG)
= 2(ab + ac + bc)
= 2(ab + bc + ca)
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= abc
ঘনক :
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে তাকে ঘনক বলা হয়।
মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক।
এর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a একক
(1) ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √a² + b² + c² = √3a² = √3b
(2) ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(a.a + a.a + a.a)
= 2(a² + a² + a²) = 6a²
(3) ঘনকটির আয়তন = a . a . a = a³
বেলন:
কোনো আয়তক্ষেত্রের যেকোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ বলা হয় এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।
উপরের চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
(1) ভূমির ক্ষেত্রফল = 𝜋r²
(2) বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা = 2𝜋rh
(3) সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (𝜋r² + 2𝜋rh + 𝜋r²)
= 2𝜋r(r + h)
(4) আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = 𝜋r²h
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত সে.মি.?
☑ 12
[খ] 20
[গ] 24
[ঘ] 28
প্রশ্নঃ 2 : একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
[ক] 33
[খ] 43
[গ] 63
☑ 9√3
প্রশ্নঃ 3 : একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে. মি. ও 7 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
[ক] 24
☑ 64
[গ] 96
[ঘ] 504
প্রশ্নঃ 4 : নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. 4 সে.মি. বর্গাকার পাথরের পরিসীমা 16 সে.মি.
ii. 3 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পাতের ক্ষেত্রফল 3𝜋 বর্গ সে.মি.
iii. 5 সে.মি. উচ্চতা এবং 2 সে. মি. ব্যাসার্ধের বেলন আকৃতির বস্তুর আয়তন 20𝜋 ঘন সে.মি.
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
[ক] i ও ii
☑ i ও iii
[গ] ii ও iii
[ঘ] i, ii ও iii
নিচের তথ্য অনুসারে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :
প্রশ্নঃ 5 : ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
[ক] 13
[খ] 14
☑ 14.4 (প্রায়)
[ঘ] 15
প্রশ্নঃ 6 : ADF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
[ক] 16
[খ] 32
[গ] 64
[ঘ] 128
[বি. দ্র. : এখানে সঠিক তথ্য নেই]
প্রশ্নঃ 7 : AGB অর্ধবৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?
[ক] 18
☑ 18.85 (প্রায়)
[গ] 37.7 (প্রায়)
[ঘ] 96
প্রশ্নঃ 8 : একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 16 মিটার, 12 মিটার ও 4.5 মিটার। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান :দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 16 মিটার
” প্রস্থ, b = 12 মিটার
” উচ্চতা, c = 4.5 মিটার
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2(16 × 12 + 12 × 4.5 + 4.5 × 16) বর্গমিটার
= 2(192 + 54 + 72) বর্গমিটার
= 636 বর্গমিটার
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
= (√a² + √b² + √c²) একক
= (√(16)² + (12)² + (4.5)² মিটার
= √256 + √144 + √20.25 মিটার
= √420.25 মিটার
= 20.5 মিটার
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = abc ঘন একক
= (16 × 12 × 4.5) ঘনমিটার
= 864 ঘনমিটার
নির্ণেয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন যথাক্রমে 636 বর্গমিটার; 20.5 মিটার ও 864 ঘনমিটার।
প্রশ্নঃ 9 : একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 21 : 16 : 12 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 87 সে. মি. হলে, ঘন বস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান :মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর
দৈর্ঘ্য, a = 21x সে. মি.
প্রস্থ, b = 16x সে. মি.
উচ্চতা, c = 12x সে. মি.
এবং কর্ণ = 87 সে. মি.
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ = √a² + √b² + √c²
বা, 87 = √(21x)² + (16x)² + (12x)²
বা, (21x)² + (16x)² + (12x)² = (87)² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, 441x² + 256x² + 144x² = 7569
বা, 841x² = 7569
বা, x² = 9
∴ x = √9 = 3
সুতরাং দৈর্ঘ্য, a = 21x = 21 × 3 সে. মি. = 63 সে. মি.
প্রস্থ, b = 16x = 16 × 3 সে. মি. = 48 সে. মি.
এবং উচ্চতা, c = 12x = 12 × 3 সে. মি. = 36 সে. মি.
আমরা জানি,
ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
= 2 (63 × 48 + 48 × 36 + 36 × 63)
= 2 (3024 + 1728 + 2268)
= 2 × 7020
= 14040 বর্গ সে. মি.
নির্ণেয় ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল 14040 বর্গ সে. মি.।
প্রশ্নঃ 10 : একটি আয়তাকার ঘনবস্তু 48 বর্গমিটার ভূমির উপর দণ্ডায়মান। এর উচ্চতা 3 মিটার এবং কর্ণ 13 মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান :মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = a মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = b মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = ab বর্গ মি. = 48 বর্গমি.।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তু এর কর্ণ, d = √a² + √b² + √c²
এখানে, উচ্চতা, c = 3 মিটার
∴ 13 = √a² + √b² + √3²
বা, 169 = a² + b² + 9
বা, a² + b² = 169 - 9 = 160 ........... (i)
∴ (a + b)² = a² + b² + 2ab
= 160 + 2 × 48
= 256 [∵ a² + b² = 160 ও ab = 48]
∴ a + b = √256 = 16 .......................(ii)
আবার, (a - b)² = a² + b² - 2ab = 160 - 96 = 64
∴ a - b = 8 .....................................(iii)
এখন, (ii) + (iii) থেকে পাই 2a = 24 বা, a = 12
এবং (ii) - (iii) থেকে পাই, 2b = 8, বা, b = 4
অতএব আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ 4 মিটার। (Ans.)
প্রশ্নঃ 11 : একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে. মি., 6 সে. মি. ও 4 সে.মি.। এর ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে. মি.। বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান :মনে করি, কাঠের পুরুত্ব = x সে. মি.
অতএব, বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (8 - 2x) সে. মি.
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b = (6 - 2x) সে. মি.
এবং বাক্সের ভেতরের উচ্চতা, c = (4 - 2x) সে. মি.
সুতরাং, বাক্সটির ভেতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2(ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2{(8 - 2x) (6 - 2x) + (6 - 2x)(4 - 2x) + (4 - 2x) (8 - 2x)} বর্গ সে.মি.
= 2(48 - 28x + 4x² + 24 - 20x + 4x² + 32 - 24x + 4x) 2 বর্গ সে.মি.
= 2(12x² - 72x + 104) বর্গ সে.মি.
প্রশ্নানুসারে, 2(12x² - 72x + 104) = 88
বা, 12x² - 72x + 104 = 44
বা, 12x² - 72x + 60 = 0
বা, x² - 6x + 5 = 0
বা, (x - 5)(x - 1) = 0
হয়, x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা, x - 1 = 0
∴ x = 1
কিন্তু, x = 5 গ্রহণযোগ্য নয়।
কারণ, বাক্সের বাইরের উচ্চতা 4 সে. মি. তাই ভেতরের উচ্চতা 5 সে. মি. হতে পারে না।
অতএব, বাক্সের কাঠের পুরুত্ব 1 সে. মি. (Ans.)
প্রশ্নঃ 12 : একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 25 মিটার, উচ্চতা 6 মিটার এবং পুরুত্ব 30 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 3 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান :দেওয়া আছে, দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = 25 মিটার
” উচ্চতা = 6 মিটার
” পুরুত্ব = 30 সে.মি. = 0.3 মিটার
∴ দেওয়ালের আয়তন = (25 × 6 × 0.3) ঘনমিটার = 45 ঘনমিটার
আবার, একটি ইটের দৈর্ঘ্য = 10 সে. মি. = 0.1 মিটার
ইটের প্রস্থ = 5 সে.মি. = 0.05 মিটার
এবং ইটের উচ্চতা = 3 সে.মি. = 0.03 মিটার
∴ একটি ইটের আয়তন = (0.1 × 0.05 × 0.03) ঘনমিটার
= 0.00015 ঘনমিটার
অতএব, দেওয়ালটি তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা = 45÷0.00015 টি
= 300000টি (Ans.)
প্রশ্নঃ 13 : একটি ঘনক আকৃতি বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান :মনে করি, একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a মিটার
আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (a² + a² + a²) = 6a²
প্রশ্নমতে, 6a² = 2400
বা, a² = 2400÷6 = 400
∴ a = √400 = 20
আবার, ঘনকের কর্ণ = √a² + √a² + √a² = √3 a
= 20 × √3 সে.মি.
= 34.641 সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 34.641 সে.মি. (প্রায়)।
প্রশ্নঃ 14 : 12 সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে. মি.। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান :এখানে, r = 5 সে. মি. এবং য = 12 সে. মি.
অতএব, বেলনের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2𝜋r (য + r) বর্গ একক
= 2 × 3.1416 × 5(12 + 5) বর্গ সে. মি.
= 2 × 3.1416 × 85 বর্গ সে. মি.
= 534.072 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
এবং বেলনের আয়তন = 𝜋r²h ঘন একক
= 3.1416 × 52 × 12 ঘন সে. মি.
= 942.48 ঘন সে. মি.
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 534.072 বর্গ সে. মি. (প্রায়) ও আয়তন 942.48 ঘন সে. মি. (প্রায়)।
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-16.4
No comments:
Post a Comment