এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৫.২
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-5.2
এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমন, ax² + bx + c = 0 [যেখানে, a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0] একটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ একটি দ্বিমাত্রিক বহুপদী। সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য ধরা হয়।
অষ্টম শ্রেণিতে x² + px + q এবং ax² + bx + c আকারের এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি। এখানে আমরা x² + px + q = 0 এবং ax² + bx + c = 0 আকারের দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে চলকের মান নির্ণয়ের মাধ্যমে এরূপ সমীকরণ সমাধান করবো।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে বাস্তব সংখ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম প্রয়োগ করা হয়। ধর্মটি নিম্নরূপ :
যদি দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হয়, তবে রাশিদ্বয়ের যেকোনোটি অথবা উভয় রাশি শূন্য হবে। অর্থাৎ, দুইটি রাশি a ও b এর গুণফল ab = 0 হলে, a = 0 বা, b = 0, অথবা a = 0 এবং b = 0 হবে।
◈ দ্বিঘাত সমীকরণের ব্যবহার
আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক সমস্যা সরল সমীকরণ ও দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করে সহজে সমাধান করা যায়।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
ক. 3
খ. 2
☑ 1
ঘ. 0
ব্যাখ্যা : a²x + b = 0 সমীকরণের চলক x, এর সর্বোচ্চ ঘাত 1.
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির ঘাত 1.
প্রশ্নঃ 2 : নিচের কোনটি অভেদ?
ক. (x + 1)² + (x - 1)² = 4x
☑ (x + 1)² + (x - 1)² = 2(x² + 1)
গ. (a + b)² - (a - b)² = 2ab
ঘ. (a - b)² = a² + 2ab + b²
ব্যাখ্যা : বামপক্ষ = (x + 1)² + (x - 1)²
= x² + 2x + 1 + x² - 2x + 1
= 2x² + 2
= 2(x² + 1)
প্রশ্নঃ 3 : (x - 4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
ক. 1টি
☑ 2টি
গ. 3টি
ঘ. 4টি
ব্যাখ্যা : (x - 4)² = 0
বা, (x - 4)(x - 4) = 0
x = 4, 4
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল 2টি
প্রশ্নঃ 4 : x² - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
ক. 3, 4
খ. 3, - 4
☑ - 3, 4
ঘ. - 3, - 4
ব্যাখ্যা : x² - x - 12 = 0
বা, x² - 4x + 3x - 12 = 0
বা, x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
বা, (x - 4)(x + 3) = 0
∴ x = 4, -3
প্রশ্নঃ 5 : 3x² - x + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?
ক. 3
খ. 2
গ. 1
☑ -1
ব্যাখ্যা : 3x² - x + 5 = 0
∴ 3x² + (-1) x + 5 = 0 এখানে, x এর সহগ - 1.
প্রশ্নঃ 6 : নিচের সমীকরণগুলো লক্ষ কর :
i. 2x + 3 = 9
ii. x² - 2 = - 1
iii. 2x + 1 = 5
উপরের কোন সমীকরণগুলো পরস্পর সমতুল?
ক. i ও ii
☑ ii ও iii
গ. i ও iii
ঘ. i, ii ও iii
প্রশ্নঃ 7 : x² - (a + b) x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
☑ {a, b}
খ. {a, -b}
গ. { - a, b}
ঘ. { - a, - b}
ব্যাখ্যা : x² - (a + b) x + ab = 0
বা, x² - ax - bx + ab = 0
বা, x(x - a) - b(x - a) = 0
বা, (x - a)(x - b) = 0 ∴ x = a, b
∴ সমাধান সেট S = {a, b}
প্রশ্নঃ 8 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। এই তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
(1) একক স্থানীয় অঙ্ক x হলে, সংখ্যাটি কত?
ক. 2x
খ. 3x
গ. 12x
☑ 21x
ব্যাখ্যা : দেওয়া আছে, একক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক 2x
∴ সংখ্যাটি = x + 10 . 2x = 21x
(2) অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
ক. 3x
খ. 4x
☑ 12x
ঘ. 21x
ব্যাখ্যা : অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10.x + 2x = 12x
(3) x = 2 হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?
☑ 18
খ. 20
গ. 34
ঘ. 36
ব্যাখ্যা : (1) হতে পাই,
সংখ্যাটি 21x = 21.2 = 42
(2) নং হতে পাই, সংখ্যাটি = 12x = 12.2 = 24
সংখ্যা দুইটির পার্থক্য, 42 - 24 = 18
⬔ সমাধান কর (9 - 18) :
প্রশ্নঃ 11 : y(y - 5) = 6
সমাধান : y(y - 5) = 6
বা, y² - 5z = 6
বা, y² - 5y - 6 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, y² - 6y + z - 6 = 0
বা, y(y - 6) + 1(y - 6) = 0
বা, (y - 6) (y + 1) = 0
হয়, y - 6 = 0
∴ y = 6
অথবা, y + 1 = 0
∴ y = -1
নির্ণেয় সমাধান : y = 6 অথবা, -1
প্রশ্নঃ 12 : (y + 5)(y - 5) = 24
সমাধান : (y + 5)(y - 5) = 24
বা, y² - 52 = 24
বা, y² - 25 = 24
বা, y² = 24 + 25 [পক্ষান্তর করে]
বা, y = ± √49 ∴ y = ± 7
নির্ণেয় সমাধান y = ± 7
প্রশ্নঃ 13 : 2(z² - 9) + 9z = 0
সমাধান : 2(z² – 9) + 9z = 0
বা, 2z² – 18 + 9z = 0
বা, 2z² + 9ু – 18 = 0
বা, 2z² + 12z – 3z – 18 = 0
বা, 2z (z + 6) – 3(z + 6) = 0
বা, (z + 6) (2z – 3) = 0
হয়,√z + 6 = 0 অথবা, 2z – 3 = 0
∴ z = – 6 বা, 2z = 3 ∴ z = 32
নির্ণেয় সমাধান : z = - 6 অথবা, 32
প্রশ্নঃ 15 : (z - 10) (z + 10) = 21
সমাধান : (z - 10) (z + 10) = 21
বা, z² - (10)² = 21 [∵ a² - b² = (a + b) (a - b)]
বা, z² - 100 = 21
বা, z² = 21 + 100
বা, z² = 121
বা, z = ± √121
∴ z = ± 11
নির্ণেয় সমাধান : z = ± 11
⬔ সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (26 - 31) :
প্রশ্নঃ 26 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15 এবং এদের গুণফল 56; সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি = 15 - x
∴ সংখ্যাটি = 10 × (15 - x) + x
= 150 - 10x + x = 150 - 9x
প্রশ্নানুসারে, x(15 - x) = 56
বা, 15x - x² = 56
বা, 15x - x² - 56 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, - (x² - 15x + 56) = 0
বা, x² - 15x + 56 = 0 [উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² - 7x - 8x + 56 = 0
বা, x(x - 7) - 8(x - 7) = 0
বা, (x - 7)(x - 8) = 0
হয়, x - 7 = 0
∴ x = 7
অথবা, x - 8 = 0
∴ x = 8
এখন, x = 7 হলে, সংখ্যাটি (150 - 9x) = (150 - 9 × 7)
= 150 - 63 = 87
∴ x = 8 হলে, সংখ্যাটি (150 - 9x) = (150 - 9 × 8)
= 150 - 72 = 78
নির্ণেয় সংখ্যাটি 78 অথবা 87
প্রশ্নঃ 28 : একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যরে অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি.
ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x² + (x + 3)² = 152
বা, x² + x² + 6x + 9 = 225
বা, 2x² + 6x + 9 - 225 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 2x² + 6x - 216 = 0
বা, x² + 3x - 108 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x² + 12x - 9x - 108 = 0
বা, x(x + 12) - 9(x + 12) =0
বা, (x + 12) (x - 9) = 0
হয়, x + 12 = 0
∴ x = -12
অথবা, x -9 = 0
∴ x = 9
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.
∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = (9 + 3) সে.মি. = 12 সে.মি.
নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 9 সে.মি. এবং 12 সে.মি.
প্রশ্নঃ 29 : একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান : ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = x মিটার
তাহলে ত্রিভুজ ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে, ½. (2x + 6) . x = 810 [∵ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা]
বা, (x + 3)x = 810
বা, x² + 3x – 810 = 0
বা, x² + 30x – 27x – 810 = 0
বা, x(x + 30) – 27(x + 30) = 0
বা, (x + 30) (x – 27) = 0
হয়, x + 30 = 0
∴ x = – 30
অথবা, x – 27 = 0
∴ x = 27
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের উচ্চতা 27 সে.মি.।
নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 27 সে. মি.। (Ans.)
প্রশ্নঃ 30 : একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?
সমাধান :
মনে করি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা x জন
∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সহপাঠীর সংখ্যা (x-1) জন
সুতরাং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (x - 1) টাকা
প্রশ্নানুসারে, x(x - 1) = 420
বা, x² - x = 420
বা, x² - x - 420 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x² - 21x + 20x - 420 = 0
বা, x(x - 21) + 20(x - 21) = 0
বা, (x - 21)(x + 20) = 0
হয়, x - 21 = 0
∴ x = 21
আবার, x + 20 = 0
∴ x = -20
যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা 21 জন।
এবং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (21-1) টাকা বা 20 টাকা করে। (Ans.)
প্রশ্নঃ 31 : একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
সমাধান : মনে করি, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x জন
∴ প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ = (x + 30) পয়সা
এবং মোট চাঁদা = x (x + 30) পয়সা
আবার, মোট চাঁদা = 70 টাকা
= 70 × 100 পয়সা = 7000 পয়সা
প্রশ্নমতে, x (x + 30) = 7000
বা, x² + 30x – 7000 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x² + 100x – 70x – 7000 = 0
বা, x(x + 100) – 70(x + 100) = 0
বা, (x + 100) (x – 70) = 0
হয়, x + 100 = 0
∴ x = – 100
অথবা, x – 70 = 0
∴ x = 70
যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা হবে 70 জন।
ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীদের সংখ্যা 70 জন। (Ans.)
প্রশ্নঃ 32 : দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 9 বেশি।
ক. চলক x এর মাধ্যমে প্রদত্ত সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ।
খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(7 - x) + x
= 70 - 10x + x = 70 - 9x(Ans.)
অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়।
= 10x + (7 - x) = 10x + 7 - x = 9x+ 7 (Ans.)
খ. প্রশ্নানুসারে, 9x+ 7 = 70 - 9x+ 9
বা, 9x+ 9x = 70 + 9 - 7 [পক্ষান্তর করে]
বা, 18x = 72
বা, x = 72/18
∴ x = 4
∴ সংখ্যাটি = 70 - 9 . 4 = 70 - 36 = 34 (Ans.)
প্রশ্নঃ 33 : একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে (x - 1) সে.মি. ও x সে.মি. এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান। আবার, একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি. ও প্রস্থ x সে.মি.।
ক. একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে তথ্যগুলো দেখাও।
খ. ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 10 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
গ. ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত বের কর।
সমাধান :
ক. উপরের তথ্যগুলো একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো :
খ. আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা
বা, 10 = ½ . (x - 1) . x
বা, 20 = x² - x
বা, x² - x - 20 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x² - 5x + 4x - 20 = 0
বা, x(x - 5) + 4(x - 5) = 0
বা, (x - 5)(x + 4) = 0
হয়, x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা, x + 4 = 0
∴ x = - 4
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি. (Ans.)
গ. ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা
= ½ . (x - 1) . x
= ½ × (5 - 1) × 5 [∵ x = 5]
= 10
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (5)² বর্গ সে.মি.
= 25 বর্গ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (x + 3) . x বর্গ সে.মি.
= (5 + 3) . 5 বর্গ সে.মি.
= 8 . 5 বর্গ সে.মি. = 40 বর্গ সে.মি.
∴ ত্রিভুজক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র : আয়তক্ষেত্র = 10 : 25 : 40
= 2 : 5 : 8 [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে 5 দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 5 : 8।
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-5.2
No comments:
Post a Comment