এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৮.৫
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-8.5
বৃত্ত
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
আমরা জেনেছি যে, বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না। বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব হয়। সুতরাং, বৃত্তস্থিত কোনো বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করতে হলে বর্ণিত বিন্দুতে ব্যাসার্ধ অঙ্কন করে ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব আঁকতে হবে। আবার বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
1. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. বৃত্তে স্পর্শক স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব
ii. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
iii. বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i ও ii
খ. i ও iii
গ. ii ও iii
☑ i, ii ও iii
ওপরের চিত্র অনুযায়ী 2 ও 3নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
2. ∠BOD এর পরিমাণ হবে-
ক. ½∠BAC
খ. ½∠BAD
গ. 2∠BAC
☑ 2∠BAD
ব্যাখ্যা : আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। ∴ ∠BOD = 2∠BAD
3. বৃত্তটি ABC ত্রিভুজের-
ক. অন্তর্বৃত্ত
☑ পরিবৃত্ত
গ. বহিঃবৃত্ত
ঘ. উপবৃত্ত
4. কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-
☑ সূক্ষকোণ
খ. সমকোণ
গ. স্থূল কোণ
ঘ. পূরককোণ
প্রশ্নঃ 5 : কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল হয়।
সমাধান :
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট MNP একটি বৃত্ত এবং AB একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা। এ বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর সমান্তরাল হয়।
অঙ্কন :
(1) O হতে AB এর ওপর OD লম্ব আঁকি। OD লম্ব বৃত্তের পরিধিকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
(2) এখন P বিন্দুতে PQ স্পর্শক আঁকি।
(3) QP কে S পর্যন্ত বর্ধিত করি। তাহলে SQ-ই উদ্দিষ্ট স্পর্শক।
প্রমাণ :
অঙ্কনানুসারে OD, AB এর ওপর লম্ব।
∴ ∠D = এক সমকোণ।
আবার, চছ, OP এর P বিন্দুতে স্পর্শক হওয়ায়,
∠OPQ = এক সমকোণ।
অতএব, ∠D = ∠OPQ
কিন্তু কোণ দুইটি অনুরূপ এবং OPD একই সরলরেখা।
সুতরাং PQ || AB
অর্থাৎ SQ || AB
∴ SQ নির্ণেয় স্পর্শক। [প্রমাণিত]
প্রশ্নঃ 6 : কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব হয়।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQR একটি বৃত্ত এবং AB একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা। এ বৃত্তে এমন স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর ওপর লম্ব হয়।
অঙ্কন :
(1) AB এর উপর E একটি বিন্দু নিই। O, E যোগ করি।
(2) O বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল POR টানি। POR বৃত্তের পরিধিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
(3) এখন, R বিন্দুতে CD স্পর্শক আঁকি। তাহলে CD-ই উদ্দিষ্ট স্পর্শক।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, চজ || AB
∴ ∠PRC = ∠RCB [ একান্তর কোণ বলে ]
কিন্তু, CR স্পর্শক হওয়ায়, ∠PRC = এক সমকোণ
সুতরাং, ∠RCB = এক সমকোণ।
∴ RC, AB এর ওপর লম্ব।
অতএব, RC বা CD-ই উদ্দিষ্ট স্পর্শক। [প্রমাণিত]
প্রশ্নঃ 7 : কোনো বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁক যেন তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হয়।
সমাধান :
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQR একটি বৃত্ত। এ বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হয়।
অঙ্কন :
(1) পরিধির ওপর P একটি বিন্দু। O, P যোগ করি এবং বর্ধিত করি।
(2) OP এর উভয় পার্শ্বে 60° দুটি কোণ আঁকি। মনে করি কোণের বাহু দুইটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুতে একটি লম্ব আঁকি। লম্বটি OP এর বর্ধিতাংশকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(3) C, B যোগ করি। তাহলে AC ও BC-ই উদ্দিষ্ট স্পর্শক।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ∠AOC = 60°
∠OAC = 90°
সুতরাং, △AOC এ, ∠ACO = 30°
একই কারণে OBC সমকোণী ত্রিভুজে, ∠BCO = 30°
অতএব, ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO
= 30° + 30° = 60°
সুতরাং, AC ও BC স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। [প্রমাণিত]
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-8.5
No comments:
Post a Comment