এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৮.৪
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-8.4
বৃত্ত
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ বৃত্তের ছেদক ও স্পর্শক :
সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার পারস্পরিক অবস্থান বিবেচনা করি। এক্ষেত্রে নিচের চিত্রের প্রদত্ত তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে :
(ক) বৃত্ত ও সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই, (খ) সরলরেখাটি বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে, (গ) সরলরেখাটি বৃত্তকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে। সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয় এবং যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়। উপরের চিত্রে [ক] এ বৃত্ত ও PQ সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই, চিত্র-খ এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A ও B দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং চিত্র [গ] এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PQ বৃত্তটির স্পর্শক ও A এই স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু।
মন্তব্য : বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দু বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকে।
◈ সাধারণ স্পর্শক :
একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে তাকে বৃত্ত দুইটির একটি সাধারণ স্পর্শক বলা হয়। নিচের [ক] ও [খ] চিত্র দুটিতে AB উভয় বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক। চিত্র-ক ও চিত্র [খ] এ স্পর্শবিন্দু একই। চিত্র [গ] ও চিত্র [ঘ] এ স্পর্শবিন্দু ভিন্ন ভিন্ন।
দুইটি বৃত্তের কোনো সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দুইটি ভিন্ন হলে স্পর্শকটিকে (ক) সরল সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে এবং (খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে।
চিত্র-গ এ স্পর্শকটি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং চিত্র-ঘ এ স্পর্শকটি তির্যক সাধারণ স্পর্শক।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানা হলো। প্রমাণ কর যে, OP সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, OP সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং P বহিঃস্থ বিন্দু। P থেকে AP এবং BP দুইটি স্পর্শক টানা হলো। A ও B এবং O ও P যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, OP, AB স্পর্শ-জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন : O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) OA এবং OB স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হওয়ায়, ∠PAO = ∠PBO
(2) APO ও BPO সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে AP = BP
[∵ বহিঃস্থ বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান]
[একই বৃত্তের ব্যসার্ধ বলে]
এবং AO = BO
OP সাধারণ বাহু
অতএব, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।
∴ ∠AOP = ∠BOP
(3) এখন, △AOE ও △BOE এর মধ্যে AO = BO
OE সাধারণ বাহু
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AOE = অন্তর্ভুক্ত ∠BOE
∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।
(4) অতএব, AE = BE
এবং ∠AEO = ∠BEO
(5) কিন্তু কোণ দুটি সন্নিহিত বলে প্রতিটি এক সমকোণ।
∴ OE, AB এর উপর লম্ব।
OE এবং OP একই সরলরেখা হওয়ায় OP, AB এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক। [প্রমাণিত]
[এক সমকোণ]
প্রশ্নঃ 2 : দেওয়া আছে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ও PB স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ কর যে, PO, ∠APB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ P বিন্দু থেকে অঙ্কিত AB ও PB স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। P, O যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, PO, ∠APB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, ∠APO = ∠BPO
অঙ্কন : O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) △APO ও △BPO এর মধ্যে
AP = BP [বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান]
OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
এবং OP = OP [বাহু সাধারণ]
অতএব, △APO ≅ △BPO [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠APO = ∠BPO
অর্থাৎ, PO, ∠APB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। [প্রমাণিত]
প্রশ্নঃ 3 : প্রমাণ কর যে, দুইটি বৃত্ত এককেন্দ্রিক হলে এবং বৃহত্তর বৃত্তটির কোনো জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে উক্ত জ্যা স্পর্শবিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : দুইটি বৃত্ত এককেন্দ্রিক হলে এবং বৃহত্তর বৃত্তটির কোনো জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে উক্ত জ্যা স্পর্শবিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ও DEF বৃত্তের কেন্দ্র O। AB বৃহত্তর বৃত্তের জ্যা। AB জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে D বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, D, AB এর মধ্যবিন্দু।
অঙ্কন : O,A; O, B এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) AB, DEF বৃত্তের D বিন্দুতে স্পর্শক এবং OD স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
[অঙ্কনানুসারে]
∴ ∠ODB = এক সমকোণ
∠ADO সন্নিহিত হওয়ায় ∠ADO = এক সমকোণ।
অতএব, OD, AB এর ওপর লম্ব।
(2) এখন, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র, OD, AB জ্যা-এর ওপর লম্ব।
সুতরাং, OD, AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। [বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যায়ের ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
অর্থাৎ, D, AB এর মধ্যবিন্দু।
[প্রমাণিত]
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-8.4
No comments:
Post a Comment